CF356B - Xenia and Hamming 题解

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/356/B

题目大意：

字符串 $a$ 是字符串 $x$ 循环 $n$ 次（$a = \sum\limits_{n} x$），

字符串 $b$ 是字符串 $y$ 循环 $m$ 次（$b = \sum\limits_{m} y$）。

字符串 $a$ 和 $b$ 长度相同，求字符串 $a$ 和 $b$ 存在多少个字符不相同。

解题思路（参考自：官方题解）：

让我们定义第一个字符串 $x$ 的长度为 $lenX$，第二个字符串 $y$ 的长度为 $lenY$。令 $L = LCM(lenX, lenY)$。很明显 $L$ 是字符串 $a$ 和 $b$ 的一个循环节，所以我们可以计算两个字符串的长度为 $L$ 的前缀的汉明距离，计算的结果再乘上 $\frac{len(a)}{L}$ 就是最终的答案了。

对于字符串 $x$ 中的任意位置 $i$，我们可以思考 $x$ 中的下标 $i$ 能够对应 $y$ 中的哪些下标 $j$。

很容易证明：若定义 $g = GCD(lenX, lenY)$，则当 $i \equiv j(\ mod \ g)$，则 $x_i$ 将和 $y_j$ 作比较。

对于任意一个位置除以 $g$ 的余数，以及任意一个字符 $c$ 我们可以计算得到 $count(r, c)$，它在字符串 $y$ 中存在多少个下标 $j$ 满足 $j \ mod \ g = r$ 且对应下标 $j$ 对应的字符为 $c$。

当计算（前面长度为 $L$ 的）汉明距离时，$x_i$ 将和恰好 $count(i \mod g, x_i)$ 个字符对应的位置相等且字符也相等，其余位置都是不相等的。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 5;
int cnt[maxn][26];
long long n, m, lenX, lenY, L, g, ans;
char x[maxn], y[maxn];
int main() {
    scanf("%lld%lld%s%s", &n, &m, x, y);
    lenX = strlen(x);
    lenY = strlen(y);
    g = __gcd(lenX, lenY);
    L = lenX * lenY / g;
    for (int i = 0; i < lenY; i++)
        cnt[i%g][y[i]-'a']++;
    ans = L;
    for (int i = 0; i < lenX; i++)
        ans -= cnt[i%g][x[i]-'a'];
    printf("%lld\n", ans * (n * lenX / L));
    return 0;
}