郑州轻工业大学OJ 2834.小凯的书架 题解 线段树二分
题目链接：http://acm.zzuli.edu.cn/problem.php?id=2834
题目大意：
给定一个大小为 \(n\) 的数列 \(a_i\)，对于每个 \(a_i\)，求它前面由后往前第 \(k\) 个大于 \(a_i\) 的数。
解题思路：
假设一开始区间 \([1,n]\) 内一个数都没有，然后我们考虑把 \(a[1]\) 到 \(a[n]\) 这 \(n\) 个数依次加入线段树中，但是不是随便加，而是按照：
- 数值由大到小；
- 数值相同的按照位置从后往前加。
线段树维护的是区间范围内已经加入的元素个数。
因为我们是按照数值从大到小，数值相同的从后往前加，所以当我们要准备加入位置为 \(i\) 的那个元素之前，我们是可以通过线段树查询到 \([1,i-1]\) 范围内的元素个数的。
若区间 \([1,i-1]\) 元素个数 \(\lt k\)，则说明 \(a[i]\) 前面比 \(a[i]\) 大的数小于 \(k\) 个，输出“\(-1\)”；否则，利用线段树求解 \([1,i-1]\) 范围内从后往前第 \(k\) 个加入的位置上面的数（因为我加入的顺序保证线段树中已存在的位置必然比 \(a[i]\) 大）
解法一：线段树暴力（\(O(n log n log n)\)）
用 query 求区间和，然后 cal 中调用 query 来决定进左子树还是右子树。
示例程序：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int tree[maxn<<2], T, n, k, a[maxn], ans[maxn];
void push_up(int rt) {
tree[rt] = tree[rt<<1] + tree[rt<<1|1];
}
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
void build(int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
tree[rt] = 0;
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
build(lson);
build(rson);
push_up(rt);
}
void update(int p, int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
tree[rt] ++;
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
if (p <= mid) update(p, lson);
else update(p, rson);
push_up(rt);
}
int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) return tree[rt];
int mid = (l + r) / 2, res = 0;
if (L <= mid) res += query(L, R, lson);
if (R > mid) res += query(L, R, rson);
return res;
}
int cal(int L, int R, int k, int l, int r, int rt) {
if (rt == 1 && query(L, R, 1, n, 1) < k) return -1; // 根节点特判
if (l == r) return l;
int mid = (l + r) / 2;
if (R > mid) {
int sz = query(L, R, rson);
if (sz >= k) return cal(L, R, k, rson);
else
k -= sz;
}
return cal(L, R, k, lson);
}
struct Node {
int p, val;
} c[maxn];
bool cmp(Node a, Node b) {
return a.val > b.val || a.val == b.val && a.p > b.p;
}
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T --) {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d", a+i);
c[i].p = i;
c[i].val = a[i];
}
sort(c+1, c+1+n, cmp);
build(1, n, 1);
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
int p = c[i].p, x;
if (p <= k) x = -1;
else x = cal(1, p-1, k, 1, n, 1);
ans[p] = (x == -1) ? -1 : a[x];
update(p, 1, n, 1);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
printf("%d\n", ans[i]);
}
return 0;
}
解法二：线段树二分（\(O(n log n)\)）
直接在线段树中二分，去除了 query 的那个时间复杂度。
示例程序：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/**
数值从大到小，位置从后往前
*/
const int maxn = 100010;
int tree[maxn<<2], T, n, k, a[maxn], ans[maxn];
void push_up(int rt) {
tree[rt] = tree[rt<<1] + tree[rt<<1|1];
}
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
void build(int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
tree[rt] = 0;
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
build(lson);
build(rson);
push_up(rt);
}
void update(int p, int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
tree[rt] ++;
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
if (p <= mid) update(p, lson);
else update(p, rson);
push_up(rt);
}
void cal(int L, int R, int& k, int &ans, int l, int r, int rt) {
if (k == 0) return;
if (l == r) {
k -= tree[rt];
if (k == 0) ans = l;
return;
}
if (L <= l && r <= R && tree[rt] < k) {
k -= tree[rt];
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
if (R > mid) cal(L, R, k, ans, rson);
if (L <= mid) cal(L, R, k, ans, lson);
}
struct Node {
int p, val;
} c[maxn];
bool cmp(Node a, Node b) {
return a.val > b.val || a.val == b.val && a.p > b.p;
}
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T --) {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d", a+i);
c[i].p = i;
c[i].val = a[i];
}
sort(c+1, c+1+n, cmp);
build(1, n, 1);
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
int p = c[i].p, x = -1, kk = k;
if (p >= x) cal(1, p-1, kk, x, 1, n, 1);
ans[p] = (x == -1) ? -1 : a[x];
update(p, 1, n, 1);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
printf("%d\n", ans[i]);
}
return 0;
}
