信息学奥赛一本通【例9.3】求最长不下降序列 题解 动态规划

题目链接：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1259

题目大意：求一个序列的最长不下降子序列的长度，并输出任意一个最长不下降子序列。

解题思路：

定义状态 \(f_i\) 表示以 \(a_i\) 结尾的最长不下降子序列的长度。

则 \(f_i = 1 + \min\limits_{j = 1 \to i-1(a_j \le a_i)} f_j\)

即 \(f_i\) 应该等于 \(1\) 到 \(i-1\) 范围内的满足 \(a_j \le a_i\) 的 \(f_j + 1\) 的最大值。

这样就能够求出所有的 \(f_i\)，则所有 \(f_i\) 的最大值就是最长不下降子序列的长度。

但是求出了长度之后还要输出任意一个满足条件的最长上升子序列。

这种情况下从前往后找是不对的，但是可以从后往前找，即再额外开一个状态 \(p_i\)，\(p_i\) 表示以 \(a_i\) 结尾的最长不下降子序列中，\(a_i\) 的前一个数的下标。然后可以 递归地倒序输出这些数，具体见 output() 函数，output(x)会先去递归地 output \(p_x\)（即 \(x\) 的前一个位置），然后输出 \(a_x\)。（请认真理解 output 函数的递归解法）

然后这道题就解决了。

注意下面程序中的全局变量 \(x\) 表示的是满足 \(f_x \ge f_i(1 \le i \le n)\)（\(f_x\) 是最大的那个），因为我要从 \(x\) 下标开始（调用 output 函数）递归往前（递归是往前的，但是输出是从前往后输出的，请注意递归函数的写法）。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 202;
int n, a[maxn], f[maxn], p[maxn], x;
void output(int x)
{
    if (p[x]) output(p[x]);
    printf("%d ", a[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a+i);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j ++)
        {
            if (a[j] <= a[i] && f[j]+1 > f[i])
            {
                f[i] = f[j] + 1;
                p[i] = j;
            }
        }
        if (f[i] > f[x]) x = i;
    }
    printf("max=%d\n", f[x]);
    output(x);
    return 0;
}