信息学竞赛中计算结果对 $10^9+7$ 取余数的原因

大家在学习信息学竞赛的过程中，总是会遇到要求计算结果对 $10^9+7$ 或者 $10007$ 这样的数取余数的结果，比如：http://codeforces.com/problemset/problem/1423/J

链接中的题目中就有一句话：

For each test case $i$, print the answer on separate lines: number of polynomials $P$ as described in statement such that $P(2)=m_i$, modulo $10^9+7$.

那么为什么要对 $10^9+7$ 呢？

最主要的原因是一些运算的结果会很大，如果不在计算的过程中模 $10^9+7$（或者别的一些数），答案可能会超过 long long 的表示范围。而如果两个数 $a,b$ 满足 $0 \le a,b \lt 10^9+7$，则对其进行加、减、乘、除（整除或取余）操作，都不会让结果超过 long long 的表示范围（当然，除法运算会复杂一点，不能简单地除，除以 $a$ 需要转变为乘以 $a$ 的逆，这部分不作为这篇随笔的讨论范围），然后计算的结果再对 $10^9+7$ 取余，又能保证结果小于 $10^9+7$ 了。

同时，对于算术运算，我们能够证明在计算过程中不停地模一个数，和计算完了之后再模这个数的结果是一样的。这部分相信学过 同余 的同学应该也都能够理解。

所以最主要的目的就是：让我们的计算过程用 long long 就可以解决。

那么为什么一般都选择 $10^9+7$ 或者 $10007$ 这样的数呢？

我们会发现一般取余的数都是 素数 ，这也是有原因的。

假设我要输出的是答案模 $m$ 的结果（即答案除以 $m$ 的余数）。假设 $m$ 是有一个有较多约数的数，同时在数据中存在 $q$ 满足 $gcd(m,q) = d \gt 1$ （即假设有一个数 $q$ ，它和 $m$ 的最大公约数是一个大于 $1$ 的数 $d$），即存在 —— $m = a \times d, q = b \times d$，则有以下等式：

$$q \% m = q - m \times [q / m] = q - m \times [b / a]$$

（这里 $[x]$ 表示 $x$ 向下取整的结果）其中 $b/a$ 的结果是 $[0,b]$ 范围内的正整数，也就是说，$[b/a]$ 的结果只有 $b+1$ 种可能，而 $m$ 是一个预先确定的数。因此，上式的值就只有 $b+1$ 种可能了。这样，虽然模运算之后的余数仍然在 $[0,m-1]$ 范围内，但是它的取值仅限于等式可能取到的那些值，也就是说余数的分布变得不均匀了。所以，$m$ 的约数越多，发生这种余数不均匀的情况就越频繁，冲突的几率就越高。而素数的约数是最少的，因此一般选 $m$ 为小于某个区域长度的最大素数。于是 $10^9+7$ 就变成一个很合适的选择方案，一方面能保证记起来比较方便，另一方面也能保证模 $10^9+7$ 的结果不会超出 long long 表示范围。