POJ2976 Dropping tests 题解 01分数规划

题目链接：http://poj.org/problem?id=2976

题目大意

在某门课程中，你要进行 \(n\) 个测试。其中第 \(i\) 个测试一共有 \(b_i\) 道问题，你答对的有 \(a_i\) 道。你在这门课程中的成绩定义为

\[100 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i} \]

现在给你一个权力，你 最多 可以选择这 \(n\) 个测试中的 \(k\) 个测试（\(k \lt n\)），并将选择的测试作废（也就是说如果你将某一个测试 \(j\) 作废，则 \(a_j\) 和 \(b_j\) 将不计入上述公式）。

举个例子，假设你有 \(3\) 个测试，对应的答题情况为 \(5/5, 0/1, 2/6\)（即 \(a_1=b_1=5,a_2=0,b_2=1,a_3=2,b_3=6\)）。如果你不选择任何测试作废，则你的成绩为 \(100 \cdot \frac{5+0+2}{5+1+6}=50\)；然而，如果你将第 \(3\) 个测试作废，则你的成绩为 \(100 \cdot \frac{5+0}{5+1} \approx 83.33 \approx 83\)。

输入格式

输入包含多组测试数据，每组测试数据包含三行。
每组数据的第一行包含三个整数 \(n\) 和 \(k\)（\(0 \le k \lt n \le 1000\)），第二行包含 \(n\) 个整数，两两之间以一个空格分隔，表示 \(a_i\)，第三行包含 \(n\) 个整数，两两之间以一个空格分隔，表示 \(b_i\)（\(0 \le a_i \le b_i \le 10^9\)）。
输入的最后一行包含两个整数 \(0\)，表示输入数据的结束。

输出格式

对于每组测试数据，输出一个整数，表示在最多将 \(k\) 个测试作废的情况下你能够得到的最高成绩。因为成绩可能不是一个整数，所以你需要输出答案四舍五入的整数。

样例输入

3 1
5 0 2
5 1 6
4 2
1 2 7 9
5 6 7 9
0 0

样例输出

83
100

问题分析

对于这个问题，首先我想到的是贪心去除掉比例（\(\frac{a_i}{b_i}\)）最小的 \(k\) 个，然后计算剩下的 \(n-k\) 个对应的结果。但是很快发现了一个反例：

假设 \(n=3,k=1\)，\(3\) 件物品分别为 \(10/10,3/10,1/5\)，则：

• 保留三件物品，成绩为 \(100 \cdot \frac{10+3+1}{10+10+5} = 56\)
• 去除第 \(1\) 件物品，成绩为 \(100 \cdot \frac{3+1}{10+5} \approx 26.67 \approx 27\)
• 去除第 \(2\) 件物品，成绩为 \(100 \cdot \frac{10+1}{10+5} \approx 73.33 \approx 73\)
• 去除第 \(3\) 件物品，成绩为 \(100 \cdot \frac{10+3}{10+10} = 65\)

可以发现，第 \(3\) 个测试的 \(\frac{a_i}{b_i}\) 是最小的，但是去除第 \(3\) 个测试后的成绩却不是最高的（而是去除第 \(2\) 个测试后的成绩最高），这是因为大家不是在同一个角度（\(b_i\)）上分析的，如果分母都一样，那么是没有问题的，但是分母不一样就会导致这种贪心策略出现问题。

由此推导出我们接下来要讨论的 01分数规划 的解法。

对于本题，我们可以将其看成如下问题：

求一组 \(w_i \in \{ 0, 1\}\) 最大化

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \times w_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_i \times w_i} \]

这里还有一个限制是 \(\sum\limits_{i=1}^n w_i \ge n-k\)

我们如果当前的 \(mid\) 满足条件则必然

\[\frac{\sum a_i \times w_i}{\sum b_i \times w_i} \ge mid \]

\[\Rightarrow \sum a_i \times w_i - mid \times \sum b_i \times w_i \ge 0 \]

\[\Rightarrow \sum w_i \times (a_i - mid \times b_i) \ge 0 \]

为了让上述条件满足，我会选 \(a_i - mid \times b_i\) 最大的 \(n-k\) 个对应的 \(w_i=1\)，其它 \(w_i\) 为 \(0\)。

这样，我就能通过二分答案找到最终的结果了。

示例代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
const int maxn = 1010;
int n, k;
double a[maxn], b[maxn], c[maxn];
bool check(double mid) {
    for (int i = 0; i < n; i ++) c[i] = a[i] - mid * b[i];
    std::sort(c, c+n);
    double ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n-k; i ++) ans += c[n-i];
    return ans >= 0;
}
int main() {
    while (~scanf("%d%d", &n, &k) && n) {
        for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", a+i);
        for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", b+i);
        double L = 0, R = 1;
        while (fabs(R - L) > 1e-4) {
            double mid = (L + R) / 2.;
            if (check(mid)) L = mid;
            else R = mid;
        }
        printf("%d\n", (int) (100 * L + 0.5));
    }
    return 0;
}