UVA1625 颜色的长度 Color Length 题解 DP+费用提前计算

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1625

解题思路：

\(s1[1..n],s2[1..m]\) 分别表示两个字符串；
\(st1[c]\) 表示字符 \(c\) 在字符串 \(s1\) 中第一次出现的位置；
\(ed1[c]\) 表示字符 \(c\) 在字符串 \(s1\) 中最后一次出现的位置；
\(st2[c]\) 表示字符 \(c\) 在字符串 \(s2\) 中第一次出现的位置；
\(ed2[c]\) 表示字符 \(c\) 在字符串 \(s2\) 中最后一次出现的位置；
\(num[i][j]\) 表示在 \(s1[1..i-1]\) 和 \(s2[1..j-1]\) 中出现过并且在 \(s1[i+1..n]\) 和 \(s2[j+1..m]\) 中仍然存在的不同字符有多少个。
\(f[i][j]\) 表示当前放置好了 \(s1[1..i]\) 和 \(s2[1..j]\) 的代价加上给未来带来的额外代价之和。

状态转移方程为：

\[f[i][j] = \min\{ f[i-1][j], f[i][j-1] \} + num[i][j] \]

最终的答案即为 \(f[n][m]\)。

由于空间限制，开滚动数组比较好。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5050;
char s1[maxn], s2[maxn];
int T, n, m, st1[26], ed1[26], st2[26], ed2[26], f[2][maxn], num[2][maxn];
void init() {
    memset(st1, 0, sizeof(st1));
    memset(ed1, 0, sizeof(ed1));
    memset(st2, 0, sizeof(st2));
    memset(ed2, 0, sizeof(ed2));
    memset(f, 0, sizeof(f));
    memset(num, 0, sizeof(num));
}
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        init();
        scanf("%s%s", s1+1, s2+1);
        n = strlen(s1+1);
        m = strlen(s2+1);
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            int c = s1[i] - 'A';
            if (!st1[c]) st1[c] = i;
            ed1[c] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i ++) {
            int c = s2[i] - 'A';
            if (!st2[c]) st2[c] = i;
            ed2[c] = i;
        }
        for (int i = 0; i <= n; i ++) {
            for (int j = 0; j <= m; j ++) {
                int s = i & 1;
                if (!i && !j) continue; // num[0][0] 已经计算过了
                int num1 = -1, num2 = -1;
                if (i) {    // (i-1, j) --> (i, j)
                    int c = s1[i] - 'A';
                    num1 = num[s][j] = num[s^1][j];
                    if (i == st1[c] && (!st2[c] || j < st2[c])) {
                        num1 ++;
                        num[s][j] ++;
                    }
                    if (i == ed1[c] && (!ed2[c] || j >= ed2[c])) {
                        num1 --;
                        num[s][j] --;
                    }
                }
                if (j) {    // (i, j-1) --> (i, j)
                    int c = s2[j] - 'A';
                    num2 = num[s][j] = num[s][j-1];
                    if (j == st2[c] && (!st1[c] || i < st1[c])) {
                        num2 ++;
                        num[s][j] ++;
                    }
                    if (j == ed2[c] && (!ed1[c] || i >= ed1[c])) {
                        num2 --;
                        num[s][j] --;
                    }
                }
                if (num1 != -1 && num2 != -1) {
                    assert(num1 == num2);
                }
                f[s][j] = INT_MAX;
                if (i) {    // (i-1, j) --> (i, j)
                    f[s][j] = min(f[s][j], f[s^1][j] + num[s][j]);
                }
                if (j) {    // (i, j-1) --> (i, j)
                    f[s][j] = min(f[s][j], f[s][j-1] + num[s][j]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", f[n%2][m]);
    }
    return 0;
}