DP练习题 植物大战僵尸 题解 动态规划+费用提前计算

题目描述

聪聪喜欢玩植物大战僵尸，在游戏里有一条水平道路，道路的一端是入口，另一端是房子。僵尸会从道路的入口一端向房子一端移动。这条道路刚好穿过 \(N\) 块连续的空地。初始时，僵尸通过每块空地的时间是 \(T\) 秒。玩家可以在这 \(N\) 个空地中种植植物以攻击经过的僵尸，每块空地中只能种植一种植物。

共有三种不同类型的植物，分别是红草、蓝草和绿草，作用分别是攻击、减速以及下毒。每种植物只能在僵尸通过它所在空地的这段时间内攻击到僵尸。

• 当僵尸经过一块红草所在的空地时，每秒钟生命值会减少 \(R\) 点；
• 当僵尸从一块蓝草所在的空地走出之后，通过每块空地的时间延长 \(B\) 秒；
• 当僵尸从一块绿草所在的空地走出之后，每秒钟会因中毒减少 \(G\) 点生命值。

蓝草的减速效果和绿草的下毒效果是可以累加的。也就是说，

• 僵尸通过 \(n\) 块蓝草所在的空地之后，它通过每块空地的时间会变成 \(T+B \times n\) 秒；
• 僵尸通过 \(n\) 块绿草所在的空地之后，它每秒钟会因中毒失去 \(G \times n\) 点生命值。

注：减速和中毒效果会一直持续下去。

聪聪想知道：怎样在这 \(N\) 块空地里种植各种类型的植物，才能使通过的僵尸失去的生命值最大。输出这个最大值。

输入格式

一行，五个空格隔开的整数 \(N\)、\(R\)、\(G\)、\(B\)、\(T\) 。

输出格式

一行，一个整数，即通过的僵尸失去的最大的生命值。

样例输入

3 3 3 3 3

样例输出

45

说明/提示

输入保证 \(N \le 3000\)，\(R,G,B,T\) 均为不超过 \(100\) 的正整数。

题解

首先，\(N\) 块空地必须得都种上草，不然就浪费了。

其次，造成伤害的只有红草，有持续效果的是蓝草和绿草，所以为了让伤害尽可能地高，肯定是蓝草和绿草放前面，后面是连续的红草。

但是蓝草和绿草的放置顺序就没有办法直接确定了，所以我们可以定义状态 \(f[i][j]\)，表示前 \(i+j\) 块草地中，有 \(i\) 块蓝草和 \(j\) 块绿草的情况下，僵尸所失去的最大生命值（不包括后面的红草所带来的杀伤值）。

对于每一个状态 \(f[i][j]\)，它只有可能从以下两种状态转化而来：

1. 前 \(i+j-1\) 块草坪中，有 \(i\) 块蓝草和 \(j-1\) 块绿草，第 \(i+j\) 块草坪种绿草，此时僵尸经过第 \(i+j\) 块草坪造成的伤害的损耗为 \((i \times B + T) \times G \times (j - 1)\)；
2. 前 \(i+j-1\) 块草坪中，有 \(i-1\) 块蓝草和 \(j\) 块绿草，第 \(i+j\) 块草坪种蓝草，此时僵尸经过第 \(i+j\) 块草坪造成的伤害的损耗为 \(((i-1) \times B + T) \times G \times j\)。

所以

\[f[i][j] = \max \{ f[i][j-1] + (i \times B + T) \times G \times (j - 1) , f[i-1][j] + ((i-1) \times B + T) \times G \times j \} \]

前 \(i+j\) 块草地中有 \(i\) 块种蓝草，\(j\) 块种绿草的情况下，对于剩余 \(n-i-j\) 块种红草的草坪来说：

• 经过每块红草的时间都为 \((i \times B + T\)；
• 经过每块红草收到的伤害是红草的物理伤害加上累积的毒伤 \(R + j \times G\)

所以经过后 \(n-i-j\) 块草坪的总伤害为

\[(n-i-j) \times (i \times B + T) \times (R + j \times G) \]

所以最终的答案为

\[\max \{ f[i][j] + (n-i-j) \times (i \times B + T) \times (R + j \times G) \} \]

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3030;
int n;
long long R, G, B, T, f[maxn][maxn], ans;
int main() {
    cin >> n >> R >> G >> B >> T;
    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; i+j <= n; j ++) {
            if (j) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-1] + (i*B+T)*G*(j-1));
            if (i) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j] + ((i-1)*B+T)*G*j);
            ans = max(ans, f[i][j] + (n-i-j) * (i*B+T) * (R+j*G));
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}