DP入门——迷宫行走方案1

题目描述

给你一个 \(n\) 行 \(m\) 列的二维迷宫，一开始你在迷宫的左上角的格子 \((1,1)\) 处（我们用位置 \((x,y)\) 来表示第 \(x\) 行第 \(y\) 列），你要走到右下角的格子 \((n,m)\) 处 ，但是你是不能随便走的，每一步你只能往右移动一格，或者往下移动一个，并且你不能移动出迷宫的边界，请问你有多少种不同的移动方案。
说明：只要从起点到终点的移动路线不同，那么我们就说它们是不同的移动方案。比如：假设 \(n = m = 2\)，那么从左上角 \((1,1)\) 移动到右下角 \((2,2)\) 共有\(2\) 种移动方案：

• \((1,1) \Rightarrow (1,2) \Rightarrow (2,2)\)
• \((1,1) \Rightarrow (2,1) \Rightarrow (2,2)\)

输入格式

输入一行包含两个整数 \(n,m(1 \le n,m \le 10)\) ，以空格分隔。

输出格式

输出包含一个整数，表示从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\) 的方案数。

样例输入

2 2

样例输出

2

本题涉及算法：动态规划。
我们设状态 \(f[i][j]\) 表示从 \((1,1)\) 走到 \((i,j)\) 的方案总数；
那么：

• 对于 \((1,1)\) 来说，\(f[1][1] = 1\) ；
• 对于除了 \((1,1)\) 以外的所有第 \(1\) 行的元素 \((1,i)\) 来说，因为 \((1,i)\) 只有可能是从 \((1,i-1)\) 走过来的，所以 \(f[1][i] = f[1][i-1]\) ;
• 对于除了 \((1,1)\) 以外的所有第 \(1\) 列的元素 \((i,1)\) 来说，因为 \((i,1)\) 只有可能是从 \((i-1,1)\) 走过来的，所以 \(f[i][1] = f[i-1][1]\) ;
• 对于其他的所有点 \((i,j)\) ，因为 \((i,j)\) 只能从 \((i-1,j)\) 和 \((i,j-1)\) 两个点走过来，所以 \(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]\) 。

我们可以按照这个思路递推得到 \(f[n][m]\) 就是我们的答案。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 11;
int n, m, f[11][11];
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            if (i == 1 && j == 1) f[1][1] = 1;
            else f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

代码说明：因为所有的 \(f[0][j]\) 和 \(f[i][0]\) 都为 \(0\) , 所以对所有除了 \((1,1)\) 以外的第一行或者第一列的元素 \((i,j)\) ，我们同样可以使用推导方程：\(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]\) ，而不需要特殊判断。