LCA算法实现
参考问题：洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）：https://www.luogu.com.cn/problem/P3379
暴力解法，dfs一下，求得所有点的深度，然后每当我们要求 \(x\) 和 \(y\) 的 LCA 的时候，我们就循环的去判断：
- 如果当前 \(x\) 的深度大于 \(y\) 的深度，则令 \(x\) 变成 \(x\) 的父亲；
- 否则，如果当前 \(y\) 的深度大于 \(x\) 的深度，则令 \(y\) 变成 \(y\) 的父亲；
- 否则（说明当前 \(x\) 和 \(y\) 处在同一深度），如果 \(x \ne y\)，则令 \(x\) 变成 \(x\) 的父亲（或者令 \(y\) 变成 \(y\)的父亲，均可）；
- 否则（说明 \(x=y\)），返回 \(x\)（或者 \(y\)，均可）。
这种暴力的解法的时间复杂度达到了 \(O(n \cdot m)\)，实现代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500050;
int n, m, rt, pa[maxn], dep[maxn];
vector<int> g[maxn];
void dfs(int u, int d) {
dep[u] = d;
int sz = g[u].size();
for (int i = 0; i < sz; i ++) {
int v = g[u][i];
if (v == pa[u]) continue;
pa[v] = u;
dfs(v, d+1);
}
}
int query(int x, int y) {
while (x != y) {
if (dep[x] < dep[y]) y = pa[y];
else x = pa[x];
}
return x;
}
int main() {
cin >> n >> m >> rt;
for (int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs(rt, 1);
while (m --) {
int x, y;
cin >> x >> y;
cout << query(x, y) << endl;
}
return 0;
}
借助于倍增思想可以将上述算法优化到 \(O(m \cdot log n)\)，
下面的实现中：
\(pa[u][i]\) 表示深度比 \(u\) 小 \(2^i\) 的祖先节点的编号，如果这个节点不存在，则该值对应为 \(rt\)（根节点）。
实现代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500050;
int n, m, rt, pa[maxn][21], dep[maxn];
vector<int> g[maxn];
void dfs(int u, int p) {
dep[u] = dep[p] + 1;
pa[u][0] = p;
for (int i = 1; (1<<i) <= dep[u]; i ++)
pa[u][i] = pa[ pa[u][i-1] ][i-1];
int sz = g[u].size();
for (int i = 0; i < sz; i ++) {
int v = g[u][i];
if (v == p) continue;
dfs(v, u);
}
}
int lca(int x, int y) {
if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
for (int i = 20; i >= 0; i --) {
if (dep[ pa[x][i] ] >= dep[y]) x = pa[x][i];
if (x == y) return x;
}
for (int i = 20; i >= 0; i --) {
if (pa[x][i] != pa[y][i]) {
x = pa[x][i];
y = pa[y][i];
}
}
return pa[x][0];
}
int main() {
cin >> n >> m >> rt;
for (int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs(rt, 0);
while (m --) {
int x, y;
cin >> x >> y;
cout << lca(x, y) << endl;
}
return 0;
}
然而不知为何在这道题仍然是70分超时。（可能是由于对数影响）
Tarjan求LCA
参考资料：https://riteme.site/blog/2016-2-1/lca.html
注：写的非常好。
实现代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500050, maxm = maxn*2;
struct Edge {
int v, nxt;
Edge() {};
Edge(int _v, int _nxt) { v = _v; nxt = _nxt; }
} edge[maxm];
int n, m, rt, head[maxn], ecnt;
int f[maxn];
void init() {
// 图部分
memset(head, -1, sizeof(int)*(n+1));
ecnt = 0;
// 并查集部分
for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = i;
}
void addedge(int u, int v) {
edge[ecnt] = Edge(v, head[u]); head[u] = ecnt ++;
edge[ecnt] = Edge(u, head[v]); head[v] = ecnt ++;
}
struct Query {
int id, v; // id表示问题编号，v表示另一个点编号
Query() {};
Query(int _id, int _v) { id = _id; v = _v; }
};
vector<Query> query[maxn];
void addquery(int x, int y, int id) {
query[x].push_back(Query(id, y));
query[y].push_back(Query(id, x));
}
int Find(int x) {
return f[x] == x ? x : f[x] = Find(f[x]);
}
void Union(int x, int y) { // 这里是将y集合所在的子树合并为x所在根节点的子树
int a = Find(x), b = Find(y);
if (a != b) f[b] = a;
}
int vis[maxn], ans[maxn];
void tarjan(int u) {
vis[u] = 1;
for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if (vis[v]) continue;
tarjan(v);
f[v] = u; // Union(u, v);
}
int sz = query[u].size();
for (int i = 0; i < sz; i ++) {
int id = query[u][i].id, v = query[u][i].v;
if (vis[v] == 2) ans[id] = Find(v);
}
vis[u] = 2;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &rt);
init();
for (int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
addedge(u, v);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
if (x == y) ans[i] = x;
else addquery(x, y, i);
}
tarjan(rt);
for (int i = 1; i <= n; i ++) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
