使用二分查找来判断一个有序序列中是否存在特定元素

你们玩过猜数字的游戏吗？你的朋友心里想一个 \(1000\) 以内的正整数，你可以给出一个数字 \(x\)，你朋友只要回答 “比 \(x\) 大” 或者 “比 \(x\) 小” 或者 “猜中”，你能保证在 \(10\) 次以内猜中吗？运气好只要一次就能猜中。

开始猜测是 \(1\) 到 \(1000\) 之间，你可以先猜 \(500\) ，运气好可以一次猜中；如果答案比 \(500\) 大，显然答案不可能在 \(1\) 到 \(500\) 之间，下一次猜测的区间变为 \(501\) 到 \(1000\)；如果答案比 \(500\) 小，那答案不可能在 \(500\) 到 \(1000\) 之间，下一次猜测的区间变为 \(1\) 到 \(499\)。只要每次都猜测区间的中间点，这样就可以把猜测区间缩小一半。由于 \(\frac{1000}{2^{10}} \lt 1\)，因此不超过 \(10\) 次询问区间就一个缩小为 \(1\)，答案就会猜中了，这就是 二分查找 的基本思想 ——

每一次使得可选范围缩小一半，最终使得范围缩小为一个数，从而得出答案。

假设问的范围是 \(1\) 到 \(n\)，根据 \(\frac{n}{2^x} \le 1\) 得 \(x \ge \text{log}_2n\)，所以我们只需要问 \(\sim log_2n\) 次就可以查找到元素的位置（或者得到元素不存在）。

需要注意的是使用二分查找有一个重要的前提，就是 有序性 。接下来通过一个例子来入门二分查找的应用。

例1 找数。

题目描述：
给一个长度为 \(n\) 的单调递增的正整数序列，即序列中每一个数都比前一个数大。有 \(m\) 个询问，每次询问一个 \(x\) ，问序列中最后一个小于等于 \(x\) 的数是什么？

输入：
第一行两个整数 \(n,m(1 \le n,m \le 1000)\)。
第二行 \(n\) 个整数用于表示这个序列。
接下来 \(m\) 行每行包含一个整数，用于表示询问的 \(x\)。

输出：
输出共 \(m\) 行，对于每一次询问的 \(x\) ，输出序列中值为 \(x\) 的元素的位置；如果序列中不存在置为 \(x\) 的元素，输出单独的一行 \(-1\)。

样例输入：

5 3
1 3 5 7 9
3
4
5

样例输出：

2
-1
3

问题分析

我们用 \(L\) 表示询问的区间的左边界，用 \(R\) 表示询问的区间的右边界， \([L,R]\) 组成询问区间。
一开始 \(L=1,R=n\)。序列已经按照升序排好，保证了二分的有序性。

每一次二分，我们这样来做：

1. 取区间中间值 \(mid = \lfloor \frac{L+R}{2} \rfloor\)；
2. 如果 \(a[mid] = x\)，则说明找到了 \(x\)，输出 \(x\) 对应的位置 \(mid\) 并结束查找；
3. 如果 \(a[mid] \gt x\)，由于序列是升序排列，所以区间 \([mid,R]\) 都可以排除，修改右边界 \(R = mid-1\)；
4. 如果 \(a[mid] \lt x\)，由于序列是升序排列，所以区间 \([L,mid]\) 都可以排除，修改左边界 \(L = mid+1\)。

重复执行二分直到 \(L \gt R\)（因为最终循环结束时一定是 \(L = R+1\)）。

示例代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, a[1001], x;
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    while (m --) {
        cin >> x;
        int L = 1, R = n, res = -1;
        while (L <= R) {
            int mid = (L + R)/2;
            if (a[mid] == x) {
                res = mid;
                break;
            }
            else if (a[mid] > x) R = mid-1;
            else L = mid+1;
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}