洛谷P1364 医院设置 题解 搜索/树形DP（暂时存在一点问题）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1364

因为题目数据比较小所有可以用搜索解决。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;
vector<int> g[maxn];
int n, v[maxn], ans = INT_MAX;
int dfs(int u, int p, int d) {
    int res = v[u] * d;
    int sz = g[u].size();
    for (int i = 0; i < sz; i ++) {
        int v = g[u][i];
        if (v == p) continue;
        res += dfs(v, u, d+1);
    }
    return res;
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int a, b;
        cin >> v[i] >> a >> b;
        if (a) {
            g[i].push_back(a);
            g[a].push_back(i);
        }
        if (b) {
            g[i].push_back(b);
            g[b].push_back(i);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) ans = min(ans, dfs(i, -1, 0));
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

但是其实这道题目也可以用树形DP来解决。
我们这里设：

• \(v[i]\) 表示点 \(i\) 的人数；
• \(s[i]\) 表示以点 \(i\) 为根节点的总人数；
• \(f[i]\) 表示以点 \(i\) 为根节点的子树中的所有节点到点 \(i\) 的距离之和；
• \(g[i]\) 表示所有节点到点 \(i\) 的距离之和。

则，可以推导状态转移方程：

\[s[u] = v[u] + \sum_v {s[v]} \]

\[f[u] = \sum_v f[v] + s[v] \]

其中， \(v\) 是 \(u\) 的任意子节点。

另外，我们这里是不把他当做一棵二叉树的，就当做一棵普通的树，并且我假设点 \(1\) 就是根节点。

那么此时：

当 \(u = 1\) 时， \(f[u]\) 就是所有节点到点 \(1\) 的距离，即：

\[g[u] = f[u] \]

当 \(u \ne 1\) 时，（我们设 \(u\) 的父节点为 \(p\)）所有节点到点 \(u\) 的距离应该是

\[f[u] + g[p] - f[u] - s[u] + s[p] - s[u] = g[p] + s[p] - 2 \times s[u] \]

咦，好像没算对。有大神算出来了麻烦留言一下，我算错了好像（但是我又懒不想算了囧~）

错误实现代码如下（有时间再修正）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;
vector<int> G[maxn];
int n, v[maxn], p[maxn], s[maxn], f[maxn], g[maxn], ans = INT_MAX;
void dfs(int u) {
    s[u] = v[u];
    int sz = G[u].size();
    for (int i = 0; i < sz; i ++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == p[u]) continue;
        p[v] = u;
        dfs(v);
        s[u] += s[v];
        f[u] += f[v] + s[v];
    }
}
void dfs2(int u) {  // 求g[u]
    if (u == 1) g[u] = f[u];
    else g[u] = g[p[u]] + s[p[u]] - 2 * s[u];
    int sz = G[u].size();
    for (int i = 0; i < sz; i ++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == p[u]) continue;
        dfs2(v);
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int a, b;
        cin >> v[i] >> a >> b;
        if (a) {
            G[i].push_back(a);
            G[a].push_back(i);
        }
        if (b) {
            G[i].push_back(b);
            G[b].push_back(i);
        }
    }
    dfs(1);
    dfs2(1);
    for (int u = 1; u <= n; u ++) {
        ans = min(ans, g[u]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}