POJ2955 Brackets 题解区间DP

题目描述

我们定义一个字符串序列为“规则的括号序列”当且仅当它满足如下条件：

空字符串是规则的括号序列；
如果字符串 $s$ 是一个规则的括号序列，那么 $(s)$ 和 $[s]$ 也是规则的括号序列；
如果字符串 $a$ 和 $b$ 都是规则的括号序列，那么 $ab$ 也是规则的括号序列；
除此之外的字符串都不能称为规则的括号序列。

举个例子，下面的这些字符串都是规则的括号序列：

$(), [], (()), ()[], ()[()]$

与此同时，下面的这些字符串都不是规则的括号序列：

$(, ], )(, ([)], ([(]$

给你一个字符串 $a_1a_2...a_n$，你的任务是找到它的最长的一个满足“规则的括号序列”条件的子序列，并输出该最长规则括号子序列的长度。也就是说，你需要找到最长的一组下表$i_1,i_2,...,i_m$ ，他们满足 $1 \le i1 \lt i2 \lt ... \lt im \le n$ ，同时 $a_{i_1}a_{i_2} ... a_{i_m}$ 是规则的括号序列。
比如，给你一个字符串 $([([]])]$ ，它的最长规则的括号子序列是 $[([])]$ 。

输入格式

输入包含多组样例。每组样例占据一行，包含一个字符串，该字符串仅由 $($ , $$ , $[$ , $]$ 组成。字符串的长度在 $1$ 到 $100$ 之间。
输入数据的最后一行包含一个字符串“end”用于标识文件结束。

输出格式

对于每一组数据（除了最后的“end”），你需要输出它的最长规则的括号子序列的长度。

样例输入

((()))
()()()
([]])
)[)(
([][][)
end

样例输出

题目分析

涉及的知识点：区间动态规划（区间DP）。
为了方便起见，我们这里将“最长规则的括号序列”简称为“目标序列”。
我们用 $dp[L][R]$ 表示字符串 $s$ 的子串 $s[L..R]$ ，那么：

首先我们要确定，如果字符串 $s$ 是空串，或者它的长度为 $1$ ，那么它的目标序列的长度肯定是 $0$ ；
如果字符串 $s$ 的长度为 $2$ ，那么当 $s=="()"$ 或者 $s=="[]"$ 的时候，它的目标序列的长度就是它本身的长度—— $2$ ；否则，它的目标序列的长度为 $0$ 。
当 $s[L]=='('$ 并且 $s[R]==')'$ 或者 $s[L]=='['$ 并且 $s[R]==']'$ 的时候， $dp[L][R]$ 的一种备选方案（称为第 $1$ 中备选方案）是 $dp[L+1][R-1] + 2$ ；
不过 $(s')$ 或者 $[s']$ （这里 $s'$ 用于表示 $s[L+1 .. R-1]$ 的目标序列）条件不一定是成立的，所以任何条件下都成立的一种备选方案（称为第2种备选方案）是 $max(dp[L+1][R], dp[L][R-1])$ ，即我们剔除掉最左边的字符串，或者最右边的字符串所能够带来的效果；
还有一种情况是字符串 $s[L..R]$ 是两个字符串拼接而成的，那么这种情况下，它的一种备选方案（称为第3种备选方案）是 $max(dp[L][i] + dp[i+1][R])$ ，其中 $L+1 \le i \lt R-1$ 。

然后我们发现还可以合并第2种备选方案到第3中备选方案中，因为 $max(dp[L+1][R], dp[L][R-1])$ 其实就等于 $max(dp[L][i] + dp[i+1][R])$ ，其中 $i=L$ 或 $R-1$ 。

所以第2及第3中备选方案合并到一起就是 $max(dp[L][i] + dp[i+1][R])$ ，其中 $L \le i \lt R$ 。
据此，我们可以编写代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 101;
int n, dp[maxn][maxn];
string s;
 
int main() {
    while ((cin >> s) && s != "end") {
        fill(dp[0], dp[0]+maxn*maxn, 0);
        n = s.length();
        for (int l = 2; l <= n; l ++) {
            for (int i = 0; i+l-1 < n; i ++) {
                int j = i + l - 1;
                if (s[i] == '(' && s[j] == ')' || s[i] == '[' && s[j] == ']')
                    dp[i][j] = (l > 2 ? dp[i+1][j-1] : 0) + 2;
                for (int k = i; k < j; k ++)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);
            }
        }
        cout << dp[0][n-1] << endl;
    }
    return 0;
}

posted @ 2020-01-19 09:33 quanjun 阅读(145) 评论(0) 编辑收藏举报

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