[转]特征方程
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我们通常会需要求解形如 \(f_{n + 2} = af_{n + 1} + bf_{n}\) 的通项公式，其中 \(f_0\) 和 \(f_1\) 已知。
我们不妨设 \(f_n\) 是一个等比数列，公比为 \(q\) ，则：
\[f_{n + 2} = af_{n + 1} + bf_{n}
\]
\[q^2f_n = aqf_n + bf_n
\]
\[q^2 - aq - b = 0
\]
解这个方程即可得到两根 \(q = q_0，q = q_1\) ，
所以 \(f_n = (q_0)^n = (q_1)^n\)
同时 \(q_0\) 和 \(q_1\) 的线性组合也满足通项公式，
所以可以写成 \(f_n = \alpha q_0^n + \beta q_1^n\)
再利用 \(f_0\) 和 \(f_1\) 联立即可解出 \(\alpha\) 和 \(\beta\) ，代入即为 \(f_n\) 通项。
以斐波那契数列为例：
\[f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}
\]
\[q^2f_n = qf_n + f_n
\]
\[q^2 - q - 1 = 0
\]
解得
\[q_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},q_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
\]
令
\[f_n = \alpha(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} + \beta(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}
\]
则
\[\alpha + \beta = 0
\]
\[\alpha\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \beta\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1
\]
解得
\[\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5},\beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}
\]
综上
\[f_n = \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}
\]
