见鬼，结果还就这样了

原题：（CIA面试题？） （参考链接： http://club.pchome.net/topic_1_15_3420979_1__.html）

两个人A和B玩游戏。方法是：A选定一个长度为3的正反序列“正反反”，B选定另一个不同的长度为3的正反序列正正反。
现在开始反复丢一枚出现正反的可能性都是1/2的硬币，直到出现A或B选定的正反序列为止。谁的序列出现了，谁就是赢家。问A和B获胜的概率各是多少？

 

一开始闷住了，那些已经淡忘的排队论啊马尔可夫链啊在乱转，感觉很害怕，希望不要和那些东西沾上边。

定一下神发现不关马尔可夫什么事情（当然，不是真的无关）。是CS一路的，二叉树。

 

                        <正>  (0,1)  （A没戏了）

                 <正>

                          反    B  (0,1)

          (正)

                          (正)   

                 [反]

                          反    A  (1,0) 

初始点

                        <正>

                 (正)

                        [反]    

          [反]

                        (正)

                 [反]

                        [反]

 

这棵树里，对相同括号的节点，从其开始的子树的A，B获胜概率组合是一致的，于是对圆括号（设A获胜概率为P1）和方括号（设A获胜概率为P2）列式：

P1 = 0.5×P2

P2 = 0.5×P1 + 0.5

于是P1 = 1/3

所以在初始点0.5×P1+0.5×P2=0.5。即总的来说A，B的获胜概率相等，和直觉一样（当然直觉还是有些摇摆的）。

题目出的比较次，如果B选其他的（比如反正反？）就有些分别了。不知道在考什么，考直觉？不像（当然如果考生都是像后天中的sam那样口算微积分的则另当别论）。

 

经dede提醒发现可能算错，重算一次：划线节点的概率和初始点相同。列式结果：A（正反反）获胜概率1/3，B（正正反）获胜概率2/3。这个问题容易算错的地方就是在节点归类上。（再次验证以下程序在节点归类上是正确的）

 

 

感谢dede （Robbie T. Mosaic）提供的基于（伪）随机数的C#仿真程序。一开始这个程序有点问题，dede也抱怨“反正反”情形似乎也是各0.5概率。后来终于发现是数组初始化值为0改变了初始条件。以下是演示“反正反”和“正正反”的代码。改了代码运行后，我发现输出结果和理论计算不一致（“正正反”获胜的概率大），经过验算才发现是我算错了，然后把结果和dede谈了一下。直觉来看“正正反”的概率大，因为一旦进入“正正”模式就是“正正反”的天下了。

 

using System; public class TestProg { public readonly int LastCount = 3; public static void Main() { TestProg prog = new TestProg(); prog.NsMain(); } public void NsMain() { Random rand = new Random(); int i; int count; for (i = 0, count = 0; i < 1000; i++) { count += DoOneRound(rand); } Console.WriteLine("PNP won {0} times out of {1}", count, 1000); } public int DoOneRound(Random rand) { int[] lastthree = new int[LastCount]; int j; for (j = 0; j < LastCount; j++) { lastthree[j] = -1; } while(true) { for (j = 0; j < LastCount - 1; j++) { lastthree[j] = lastthree[j + 1]; } lastthree[j] = rand.Next() % 2; if (lastthree[0] == 0 && lastthree[1] == 1 && lastthree[2] == 0) { Console.WriteLine("NPN wins"); return 0; } else if (lastthree[0] == 1 && lastthree[1] == 1 && lastthree[2] == 0) { Console.WriteLine("PPN wins"); return 1; } } } }   

 

 看来这个问题还是比较容易算错的，我想把算法整理一下变成代码：

 

using System; using System.Collections.Generic; namespace CoinGames { class Whowins { class WinningCondition { public int[][] Sequences = null; public int[][] Rescuers = null; bool IsEqual(int[] seq, int aStart, int aEnd, int bStart, int bEnd) { int ap; int bp; for (ap = aStart, bp = bStart; ap < aEnd && bp < bEnd; ap++, bp++) { if (seq[ap] != seq[bp]) { return false; } } if (ap < aEnd || bp < bEnd) { return false; } return true; } // it gave me a reminiscence of KMP // but it's stronger int[] Rescue(int[] seq) { int n = seq.Length; int[] resq = new int[n]; foreach (int s in seq) { Console.Write(s); } Console.WriteLine(); for (int i = 0; i < n; i++) { resq[i] = -1; for (int j = i - 1; j >= 0; j--) { if (IsEqual(seq, 0, j, i - j, i) && seq[i] != seq[j]) { resq[i] = j; break; } } } foreach (int s in resq) { Console.Write(s); } Console.WriteLine(); return resq; } public void Rescue() { Rescuers = new int[Sequences.Length][]; for (int i = 0; i < Sequences.Length; i++) { Rescuers[i] = Rescue(Sequences[i]); } } public State Transition(State state, int c) { State newState = new State(state); for (int i = 0; i < this.Sequences.Length; i++) { if (this.Sequences[i][newState.Pos[i]] == c) { // An ordinary progress newState.Pos[i]++; } else { do { newState.Pos[i] = Rescuers[i][newState.Pos[i]]; } while (newState.Pos[i] >= 0 && Sequences[i][newState.Pos[i]] != c); newState.Pos[i]++; } if (newState.Pos[i] == Sequences[i].Length) { newState.bHasWinner = true; } } return newState; } } class State : IComparable<State> { // deja vu? yes, inspired by LR syntactical parsing! public int[] Pos = null; public bool bHasWinner = false; public override String ToString() { String r = "["; bool first = true; foreach (int p in Pos) { if (first) { first = false; } else { r += ","; } r += p.ToString(); } r += "]"; return r; } public State(WinningCondition wc) { Pos = new int[wc.Sequences.Length]; for (int i = 0; i < this.Pos.Length; i++) { Pos[i] = 0; } } public State(State that) { Pos = new int[that.Pos.Length]; for (int i = 0; i < that.Pos.Length; i++) { Pos[i] = that.Pos[i]; } } public int CompareTo(State that) { for (int i = 0; i < Pos.Length; i++) { int thisPos = this.Pos[i]; int thatPos = that.Pos[i]; int cmp = thisPos.CompareTo(thatPos); if (cmp != 0) { return cmp; } } return 0; } } static void Main(String[] args) { try { double[] probList = new double[]{0.5, 0.5}; WinningCondition wc = new WinningCondition(); wc.Sequences = new int[][]{new int[]{0,1,0}, new int[]{1,1,0}}; wc.Rescue(); State root = new State(wc); Queue<State> q = new Queue<State>(); List<State> states = new List<State>(){root}; q.Enqueue(root); while (q.Count > 0) { State state = q.Dequeue(); // print out the formula for the node String formula = state + " = "; for (int i = 0; i < probList.Length; i++) { State newState = wc.Transition(state, i); int index = states.BinarySearch(newState); if (index < 0 && !newState.bHasWinner) { index = -index - 1; states.Insert(index, newState); q.Enqueue(newState); } if (i != 0) { formula += " + "; } formula += "(P{" + i + "}=" + probList[i] + ")"; formula += " * "; formula += newState; } Console.WriteLine(formula); } } catch (Exception e) { Console.WriteLine("Exception/n {0}", e); } } } }   

 

经过一番调试，应该输出正确了。结果是NPN胜率3/8。这个程序给出的是围绕某个玩家的各节点的求解算式，如果要排成线性方程组，还需要若干代码，然后可以交给Matlab求解；如果要一般性解出方程，还需加高斯消去法之类（这个问题中矩阵是稀疏的应该有快速算法）；为了解出解析解，需要实现有理数类并完成运算方法或重载。至此初步完成这个问题的全部机器求解。总的来看C#的代码紧凑性还是很高的，一般我求解问题代码不太精简，但在这里200行代码也就解决问题的核心部分，而且代码的可读性也不错。