bzoj 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
3
4
2
1
4
Sample Output
HINT
Source
然而弱渣还是不会斜率优化。。。
跟诗人小G一模一样。。。
这题是可以用last轻松水过的。。。
做这个题只是纯粹为了练一练二分栈的板子，具体题解见诗人小G。
下面有斜率优化版。。。初学者可以参考
1 // MADE BY QT666 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<iostream> 6 #include<queue> 7 #include<set> 8 #include<cstdlib> 9 #include<cstring> 10 #include<string> 11 #include<ctime> 12 #define lson num<<1 13 #define rson num<<1|1 14 #define int long long 15 using namespace std; 16 typedef long long ll; 17 const int N=100050; 18 int gi() 19 { 20 int x=0,flag=1; 21 char ch=getchar(); 22 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();} 23 while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); 24 return x*flag; 25 } 26 struct data{int l,r, p;}q[N]; 27 int a[N],f[N]; 28 int n,L; 29 int cal(int j,int i){ 30 return f[j]+(i-j-1+a[i]-a[j]-L)*(i-j-1+a[i]-a[j]-L); 31 } 32 int find(data t,int x){ 33 int l=t.l,r=t.r; 34 while(l<=r){ 35 int mid=(l+r)>>1; 36 if(cal(t.p,mid)<cal(x,mid)) 37 l=mid+1; 38 else r=mid-1; 39 } 40 return l; 41 } 42 main() 43 { 44 n=gi(),L=gi(); 45 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gi(),a[i]+=a[i-1]; 46 int head=1,tail=0; 47 q[++tail]=(data){0,n,0}; 48 for(int i=1;i<=n;i++){ 49 if(head<=tail&&i>q[head].r)head++; 50 f[i]=cal(q[head].p,i); 51 if(head>tail||cal(i,n)<=cal(q[tail].p,n)){ 52 while(head<=tail&&cal(i,q[tail].l)<=cal(q[tail].p,q[tail].l)) 53 tail--; 54 if(head>tail) 55 q[++tail]=(data){i,n,i}; 56 else{ 57 int t=find(q[tail],i); 58 q[tail].r=t-1; 59 q[++tail]=(data){t,n,i}; 60 } 61 } 62 } 63 printf("%lld",f[n]); 64 }
蒟蒻终于get了斜率优化。。。
推斜率方程：
f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2<=f[k]+(s[i]-s[k]-L)^2;
展开
f[j]+(s[j]+L)^2-2*s[i]*(s[j]+L)+s[i]^2<=f[k]+(s[k]+L)^2-2*s[i]*(s[k]+L)+s[i]^2;
消掉两边相同的
f[j]+(s[j]+L)^2-2*s[i]*s[j]<=f[k]+(s[k]+L)^2-2*s[i]*s[k];
发现f[j]+(s[j]+L)^2只跟j有关
我们用换元：
令y(j)=f[j]+(s[j]+L)^2;
有两个相乘的,我们把系数2*s[i]看做一个斜率K;
再令x(j)=s[j];
那么原不等式化为:
y(j)-K*x(j)<=y(k)-K*x(k);
移项后得到：
K*(x(k)-x(j))<=y(k)-y(j);
1.当x(k)>x(j)时,K<=(y(k)-y(j))/(x(k)-x(j));
2.当x(k)<x(j)时,K>=(y(k)-y(j))/(x(k)-x(j));
然后玄学的力量就引导我们用一个单调队列维护凸包。。。
代码附上：
真正的线的神教在最下面(千万不要错过)：
1 // MADE BY QT666 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<iostream> 6 #include<queue> 7 #include<set> 8 #include<cstdlib> 9 #include<cstring> 10 #include<string> 11 #include<ctime> 12 #define lson num<<1 13 #define rson num<<1|1 14 #define int long long 15 using namespace std; 16 typedef long long ll; 17 const int N=100050; 18 int gi() 19 { 20 int x=0,flag=1; 21 char ch=getchar(); 22 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();} 23 while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); 24 return x*flag; 25 } 26 int sum[N],f[N],q[N],L; 27 int Y(int x){ 28 return f[x]+(sum[x]+L)*(sum[x]+L); 29 } 30 int X(int x){ 31 return sum[x]; 32 } 33 double cal(int j,int k){ 34 return (Y(k)-Y(j))/(2.0*(X(k)-X(j))); 35 } 36 main() 37 { 38 int n=gi();L=gi();L++; 39 for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=gi()+sum[i-1]; 40 for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=i; 41 int head=1,tail=0;q[++tail]=0; 42 for(int i=1;i<=n;i++){ 43 while(head<tail&&cal(q[head],q[head+1])<=sum[i]) head++; 44 int t=q[head]; 45 f[i]=f[t]+(sum[i]-sum[t]-L)*(sum[i]-sum[t]-L); 46 while(head<tail&&cal(q[tail],i)<cal(q[tail-1],q[tail])) tail--; 47 q[++tail]=i; 48 } 49 printf("%lld\n",f[n]); 50 }
方程：
f[j]+(a[i]-a[j]-L)^2;
展开
f[j]+a[i]^2-2*a[i]*(a[j]+L)+(a[j]+L)^2;
整理
f[j]+a[j]^2+2*a[j]*L-2*a[i]*a[j]+a[i]*a[i]-2*a[i]*L;
利用线的套路：
b=f[j]+a[j]^2+2*a[j]*L,k=-2*a[j],x=a[i],常数为：a[i]*a[i]-2*a[i]*L;
简短有力，附上代码：
// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
int gi()
{
int x=0,flag=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*flag;
}
struct data{int k,x,b;}g[N],q[N];
int n,L,f[N],a[N];
main()
{
n=gi(),L=gi();L++;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gi()+a[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=i,g[i].k=-2*a[i],g[i].x=a[i];
int head=1,tail=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail&&q[head].k*g[i].x+q[head].b>=q[head+1].k*g[i].x+q[head+1].b)
head++;
f[i]=q[head].k*g[i].x+q[head].b+a[i]*a[i]-2*a[i]*L+L*L;
g[i].b=f[i]+a[i]*a[i]+2*a[i]*L;
while(head<tail&&(g[i].b-q[tail].b)*(q[tail-1].k-q[tail].k)<=(q[tail].b-q[tail-1].b)*(q[tail].k-g[i].k))
tail--;
q[++tail]=g[i];
}
printf("%lld",f[n]);
}
