狩月之熊

Description

首先引入lca（x,y)这个记号，表示x和y两个节点在树上的最近公共祖先。然后Aponoia定义了“不三不四树”:

假设在一棵有根树上存在五个互不相同的节点，分别记为a,b,c,d,z,若这5个点同时满足以下要求：a,b,c,d,lca(a,b),lca(c,d),lca(lca(a, b),lca(c,d))这7个节点互不相同，并且z是lca(lca(a, b), lca(c,d))的祖先；那么五元组（a, b, c, d, z)表示了一棵合法的“不三不四树”。

现在给定一棵以1号节点为根的树，请你求出满足上述要求的“不三不四树”的总数。由于答案可能很大，请输出答案mod1234567891后的结果。

Analysis

树的题目总是令人懵逼

最朴素的算法，暴力五重枚举，lca不需要tarjan和倍增，因为这算法注定20分..

在hy中学dalao zzk的提示下，我回到了找规律的思路。对于不三不四树，其实就是要求寻找一棵有四个层次的树，第一层次为Z，第二层次为lca(lca(a,b),lca(b,c))，第三层次为lca(a,b),lca(c,d)，第四层次为a,b,c,d。而层次之间是可以状态转移的。粗略总结有两种转移方式：

1. 继承：非常显然的转移方式，子树(不算根)中存在四层次的树，那么算根肯定也存在，只是把树又抽高了而已。
2. 生长：四层次的树很显然可以由三层次的树“生长”而来，也就是说，对于一个根，其四层次的子树(算根)个数一定为其所有三层次子树(不算根)个数。而三层次的树也可以由二层次的生长出来，不过这里的生长法则更为复杂，需要存在“连理”(瞎编的)，就是说自己的子树(不算根)中要存在两棵两层次子树(不算根)不属于同一个儿子的子树。

对于生长中二三层次的生长，可以循环儿子时边累计边算，这样不会重复。

如上述，可以写出树形dp方程。

dp[i][4]=dp[son][4]+dp[son][3]

dp[i][3]=dp[son][3]+treat(dp[son][2]

dp[i][2]=dp[son][2]+treat(dp[son][1])

dp[i][1]=dp[son][1]+1

当然以上都是我在夏令营思考的过程，新比赛中是理解性默写..

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long
#define mo 1234567891

int n;
ll dp[500010][5];
std::vector <int> son[500010];

//dp[1]表示单节点，dp[2]表示层次为2...dp[4]表示层次为4 

void search(int i){
	int len=son[i].size();
	for(int j=0;j<len;j++)
		search(son[i][j]);
	for(int j=0;j<len;j++){
		dp[i][3]=(dp[i][3]+dp[son[i][j]][2]*dp[i][2]%mo+dp[son[i][j]][3])%mo;
		dp[i][2]=(dp[i][2]+dp[son[i][j]][2])%mo;
	}
	for(int j=0;j<len;j++){
		dp[i][2]=(dp[i][2]+dp[son[i][j]][1]*dp[i][1]%mo)%mo; 
		dp[i][1]=(dp[i][1]+dp[son[i][j]][1])%mo;
	}
	for(int j=0;j<len;j++)
		dp[i][4]=(dp[i][4]+dp[son[i][j]][4]+dp[son[i][j]][3])%mo;
	dp[i][1]=(dp[i][1]+1)%mo;
}

int main(){
	freopen("threefour.in","r",stdin);
	freopen("threefour.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int f,s;
		scanf("%d%d",&f,&s);
		son[f].push_back(s);
	}
	search(1);
	printf("%lld\n",dp[1][4]%mo);
	return 0;
}