每周算法讲堂，二分法

（原文是发送到UESTCACM微信的，所以欢迎大家关注哦~

大家好，我是萌萌的微信酱！

又到了一周一度难得的周三了哦，你们找到女朋友了吗？喵。

另外你们有没有想我呢？

众人：没有。

呜呜呜呜呜……

（擦干眼泪。）

这周呢，我要讲的算法是二分法，至于为什么要讲这个算法呢，我才不会告诉你们是因为这周的每周一题就是二分呢。

引入一道例题：

Block Towers（来源codeforces 8VC Venture Cup 2016 - Elimination Round C题）
题意：

你需要找n个2的倍数，m个3的倍数，要求所有数都不一样

你的目的是使得其中最大的数最小，然后问你这个数是多少呢？

(0 ≤ n, m ≤ 1 000 000, n + m > 0)

喵，题意讲完了~

你们知道怎么做吗？

只见迅雷不及掩耳盗铃之势，小郭同学一看到这道题，大呼：“这不是傻X题吗？我会做了！”

小郭说：“这道题贪心就好了，由于是2和3之间的关系，肯定3得优先排前面，我先把3分配完，然后再弄2就好了！”

小郭三下五除二就把代码写完，submit！

duang，Wrong answer on pretest 4。

哼，这周的主题就是二分，怎么能够让你贪心贪过去呢？（一脸傲娇

第4个数据是 4 2，贪心的话，答案是10，但实际答案可以是9.

这道题，如果正面去贪心的话，情况多多，比较麻烦，而且写着好累啊。

那么我们怎么做呢？

我们首先第一步，认识到这个答案是具有单调性的！

如果T这个值是符合答案的，那么存在To>T,To显然也是符合答案的。

因为To范围内的数显然比T多，而且To完全可以和T选取一模一样的数出来。

反之，如果T是不符合答案的，如果To<T，显然To也是不符合答案的。

然后我们就可以开始二分答案咯。

我们把问题转换为，给你T，问你T范围内，是否能够分离出n个2的倍数，和m个3的倍数，并且这些数都是不一样的呢？

只听喵的一声，沈宝宝说他会做了！

沈宝宝说：“我们可以知道，T范围内，是2的倍数的数有T/2个，是3的倍数的有T/3个，即是2又是3的倍数的数，有T/6个，那么只要(max(0,n-(T/2-T/6))+max(m-(T/3-T/6),0))<=T/6就好了！" 。

回答正确！奖励一颗糖！

我们就二分答案，不断check就好了。

我们首先找到答案的下界，l = 0，以及答案的上界r = 3*1000000。

然后我们不断check((l+r)/2)，如果(l+r)/2是符合答案的，那么根据单调性，显然[(l+r)/2,+∞)这个范围，都是符合答案的，那么我们令r = mid。如果(l+r)/2不符合答案，同理，根据单调性，(-∞,(l+r)/2]都是不符合答案的，我们就令l=mid。

然后这样不断的进行check，直到l > r的时候，这样我们就能找到那个不符合和符合的分界线了~

这条分界线，显然就是答案咯。

喵，每一次check的时候，时间复杂度是O(1)，我最多check logn次，所以二分的总时间复杂度是O(logn)的，完全可以接受。

于是，我得到了Accepted。

喵喵喵，二分就讲完了，你们懂了吗？

如果不懂就给微信酱留言哦，或者在QQ群提问，微信酱会积极的解答的 ( ͡° ͜ʖ ͡°)

米娜桑，加油吧~