奇怪的数学公式系列

奇怪的数学公式系列：

快速幂：

long long quickpow(long long  m,long long n,long long k)//返回m^n%k
{
    long long b = 1;
    while (n > 0)
    {
          if (n & 1)
             b = (b*m)%k;
          n = n >> 1 ;
          m = (m*m)%k;
    }
    return b;
}

快速加：

long long quickplus(long long  m,long long n,long long k)//返回m*n%k
{
    long long b = 0;
    while (n > 0)
    {
          if (n & 1)
             b = (b+m)%k;
          n = n >> 1 ;
          m = (m+m)%k;
    }
    return b;
}

质因数分解 sqrt(n)

int cnt[maxn];//存储质因子是什么
int num[maxn];//该质因子的个数
int tot = 0;//质因子的数量
void factorization(int x)//输入x，返回cnt数组和num数组
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            cnt[tot]=i;
            num[tot]=0;
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
                num[tot]++;
            }
            tot++;
        }
    }
    if(x!=1)
    {
        cnt[tot]=x;
        num[tot]=1;
        tot++;
    }
}

约数和定理

int sum_of_factor(int cnt[],int num[],int mod)//返回因子和 % mod
{
    int ans = 1;
    for(int i=0;i<tot;i++)
        ans = (ans*Sum_of_geometric_progression(cnt[i],B*num[i],mod))%mod;
    return ans;
}

欧拉函数：

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

φ函数的值：通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

若n为质数则φ(n)=n-1。

long long phi[maxn];
void phi1()
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(long long i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(long long j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

另外一种：

long long phi(long long n)
{
    long long tmp=n;
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            tmp/=i;tmp*=i-1;
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    if(n!=1)tmp/=n,tmp*=n-1;
    return tmp;
}

排列组合

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+7;
const int mod = 1e9+7;
long long fac[maxn];
long long qpow(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;a%=mod;
    for(long long i=b;i;i>>=1,a=a*a%mod)
        if(i&1)ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
long long C(long long n,long long m)
{
    if(m>n||m<0)return 0;
    long long s1=fac[n],s2=fac[n-m]*fac[m]%mod;
    return s1*qpow(s2,mod-2)%mod;
}
int main()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}

逆元

int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (!a) {
        x = 0, y = 1;
        return b;
    }
    int xx, yy, g = gcd(b % a, a, xx, yy);
    x = yy - b / a * xx;
    y = xx;
    return g;
}
 
inline int normal(int n) {
    n %= mod;
    (n < 0) && (n += mod);
    return n;
}
 
inline int inv(int a) {
    int x, y;
    assert(gcd(a, mod, x, y) == 1);
    return normal(x);
}
 
inline int add(int a, int b) { return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b; }
inline int sub(int a, int b) { return a - b < 0 ? a - b + mod : a - b; }
inline int mul(int a, int b) { return int(a * 1ll * b % mod); }
inline int _div(int a, int b) { return mul(a, inv(b)); }

统计二进制有多少个1
cnt[i]＝cnt[i>>1]+(i&1);

popcount(int x){
    return cnt[x>>16]+cnt[x&((1<<16)-1)];
}