某厉害的比赛的题解（待补

北航第十一届程序设计竞赛网络预赛题解

比赛链接：

https://biancheng.love/contest-ng/index.html#/29

官方题解

http://sd-invol.github.io/2015/12/15/BCPC2015-Online/

A.模式

https://biancheng.love/problem/212/index

对于窝这个外校成员，这道题好麻烦啊= =

不过我发现我可以点开别的用户的ID，看到学号。

然后再猜一猜，就知道了计算机系应该是XX06XXXX,软件学院是XX21XXXX

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;

string s;
int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        if(s[2]=='0'&&s[3]=='6')
            cout<<"SCSE"<<endl;
        else if(s[2]=='2'&&s[3]=='1')
            cout<<"SOFT"<<endl;
        else cout<<"OTHER"<<endl;
    }
}

B.并联变阻器

https://biancheng.love/problem/199/index

题意即统计满足a,b≤N且aba+b是整数的二元组(a,b)的个数，条件也即a,b≤N且(a+b)|ab。

令r=gcd(a,b)，则有gcd(ar,br)=1，再令a=rx,b=ry，那么(a+b)|ab 可以表示为r(x+y)|r2xy，也就是(x+y)|rxy。

由于x与y互质，所以gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1，(x+y)与x,y也是互质的，则必然有(x+y)|r。

令r=k(x+y)，则a=kx(x+y),b=ky(x+y)，可以发现a,b≤N对应着x,y≤N−−√，只需要枚举不超过N−−√的互质数对(x,y)，即可计算出对应的每一组解，这样做的时间复杂度是O(N−−√2)=O(N)的，其中求最大公约数的部分可以通过预处理达到O(1)。

注意到本题的数据组数较大，单组数据使用O(N)算法也会超时，但是枚举所有解的时候也确定了这组解是属于N≥max(a,b)的所有N，所以将这组(a,b)统计到对应的max(a,b)，再求一遍前缀和即可得到所有答案，预处理复杂度O(N)，单点查询O(1)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e6;

int vis[maxn + 50] ,p[maxn + 50],sum[maxn + 50];

int quick_pow(int x , int y){
    int res=1;
	while(y){
		if(y&1) res*=x;
		x*=x;
		y>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	for(int i = 1 ; i <= maxn ; ++ i)
        p[i] = 1;
	for(int i = 2 ; i <= maxn ; ++ i)
		if(!vis[i]){
			for(int j = i ; j <= maxn ; j += i){
				vis[j] = 1;
				int t = 0 , x = j;
				while(x % i == 0) x/=i , t ++ ;
				t=t>>1;
				p[j]*=quick_pow( i , t );
			}
		}
	for(int i = 1 , a , b ; i <= maxn ; ++ i){
		int y = i / p[i] , z = i / p[i] / p[i];
		for(int j = 1 ; ((a = i + y * j) <= maxn) && ((b = j*y + j * j * z) <= maxn) ; ++ j) sum[max(a,b)]++;
	}
    for(int i = 1 ; i <= maxn ; ++ i) sum[i] += sum[i-1];
    int n ;
    while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n",sum[n]);
	return 0;
}

D.最大公约数

https://biancheng.love/problem/201/index

贪心。

首先要意识到，最后答案每一段的GCD，一定和整个的GCD是一样的。

所以就直接扫一遍就好了。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;

#define maxn 100005
int a[maxn];
int gcd(int A,int B)
{
    if(B==0)return A;
    return gcd(B,A%B);
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        int Ans = a[1];
        for(int i=1;i<=n;i++)
            Ans = gcd(Ans,a[i]);
        int ans = 0;
        int tmp = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(tmp == 0)
                tmp = a[i];
            tmp = gcd(tmp,a[i]);
            if(tmp == Ans)
            {
                ans++;
                tmp = 0;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}

E.矩阵

https://biancheng.love/problem/202/index

就给你2500个方程，一共有100个未知数，然后每个方程里面只有两个未知数，每个未知数的系数都是1,

问你这个方程是否存在一组解。

大概一眼看到的算法大概就是算一下矩阵的秩，判断他和增广矩阵的秩是否相同就好了

然而窝TLE了= =

所以还是老老实实写差分约束吧，按照差值建边之后，再跑spfa，判断是否有负环就好了

我的判断方法比较偷懒，因为spfa有负环的话，会一直跑下去，所以我只要判断他是否会一直跑下去就好了

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

#define maxn 110
vector<pair<int,int> > E[maxn];
int vis[maxn];
int inq[maxn];
int d[maxn];
int main()
{
    int n,m,k;
    while(cin>>n>>m>>k)
    {
        int flag = 0;
        for(int i=0;i<maxn;i++)
            E[i].clear();
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(inq,0,sizeof(inq));
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            E[x].push_back(make_pair(n+y,z));
            E[n+y].push_back(make_pair(x,-z));
        }
        queue<int> Q;
        for(int i=1;i<=n+m;i++)
        {
            d[i]=999999;
            E[0].push_back(make_pair(i,0));
        }
        Q.push(0);inq[0]=1;
        int step = 0;
        while(!Q.empty())
        {
            step++;
            if(step>1000000){
                flag = 1;
                break;
            }
            int now = Q.front();
            vis[now]=1;
            Q.pop();
            inq[now]=0;
            for(int i=0;i<E[now].size();i++)
            {
                int next = E[now][i].first;
                if(d[next]>d[now]+E[now][i].second)
                {
                    d[next]=d[now]+E[now][i].second;
                    if(inq[next])continue;
                    inq[next]=1;
                    Q.push(next);
                }
            }
        }
        if(flag)printf("No\n");
        else printf("Yes\n");
    }
}

F.序列

https://biancheng.love/problem/203/index

打表找规律，很容易发现答案 = (n+1)!/2

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
const int mod = 1e9+7;
long long ans[maxn];
int main()
{
    ans[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        ans[i]=(ans[i-1]*(i+1))%mod;
    int n;
    while(cin>>n)
        cout<<ans[n]<<endl;
}

H.高中数学题

https://biancheng.love/problem/205/index

首先手动推公式，很容易发现An = 2n + 1

然后我们再打表An的前缀异或，然后很容易发现规律

long long get(long long x)
{
    if(x%4==0)return 2LL*x;
    if(x%4==1)return 3LL;
    if(x%4==2)return 2LL*x+2LL;
    if(x%4==3)return 1LL;
} 

所以，我们就直接跑就好了~

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long get(long long x)
{
    if(x%4==0)return 2LL*x;
    if(x%4==1)return 3LL;
    if(x%4==2)return 2LL*x+2LL;
    if(x%4==3)return 1LL;
}
int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        long long l,r;
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
        printf("%lld\n",get(l-1)^get(r));
    }
}

I.神奇宝贝大师

https://biancheng.love/problem/206/index

费马点，曼哈顿版本。

所以X轴与Y轴是分开的。

非常裸的一道题，由于这道题的数据范围只有2000，就更加裸了……

直接暴力n^2扫就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2005
long long numx[maxn];
long long numy[maxn];

int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(numx,0,sizeof(numx));
        memset(numy,0,sizeof(numy));
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int x,y,q;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&q);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                numx[i]+=((x^i)+(y^j))%q;
                numy[j]+=((x^i)+(y^j))%q;
            }
        }
        long long minx=9999999999999LL,miny=9999999999999LL;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            long long temp = 0;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                temp += numx[j]*abs(j-i);
            if(temp<minx)
                minx = temp;
        }

        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            long long temp = 0;
            for(int j=1;j<=m;j++)
                temp += numy[j]*abs(j-i);
            if(temp<miny)
                miny = temp;
        }
        printf("%lld\n",minx+miny);

    }
}

L.偶回文串

https://biancheng.love/problem/198/index

这道题是水题

回文即满足所有字母都是偶数即可

我们利用异或，来统计每一种状态的数量，那么这个状态对答案的贡献就是(num-1)*(num)/2

所以这道题就结束了。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;

map<int,long long> H;

string s;
int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        H.clear();
        int k = 0;
        H[k]++;
        for(int i=0;i<s.size();i++)
        {
            k^=(1<<(s[i]-'a'));
            H[k]++;
        }
        map<int,long long>::iterator it;
        long long ans = 0;
        for(it = H.begin();it!=H.end();it++)
        {
            long long p = it->second;
            ans += (p-1)*p/2;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

M.我是鱼

https://biancheng.love/problem/210/index

这道题涨姿势了，一开始我只能想到hash。

一直没想到怎么只用xor来解决……

官方题解写的比较清楚：

一个数和自己异或(⊕)结果为0，所以如果只有一个数是奇数全部异或起来就能得到结果，如果有两个数是奇数，假设为a，b，把所有数异或起来的结果等于a⊕b，设c=a⊕b，则c≠0，c的二进制表示中必有某一位为1，假设为第x位，那么将所有第x位为0的异或起来，所有为1的异或起来就能得到a，b。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define maxn 1000005
long long a[maxn];
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        long long x=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            x^=a[i];
        }
        int flag = 0;
        for(int i=0;i<60;i++)
        {
            if((x>>i)&1)
            {
                flag = i;
                break;
            }
        }
        long long ans1 = 0,ans2 = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if((a[i]>>flag)&1)ans1^=a[i];
            else ans2^=a[i];
        }
        if(ans1>ans2)swap(ans1,ans2);
        printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
    }
}