01背包问题
有 \(N\) 件物品和一个容量是 \(V\)的背包。每件物品只能使用一次。
第 \(i\)件物品的体积是 \(vi\)，价值是 \(wi\)。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，\(N\)，\(V\)，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 \(N\) 行，每行两个整数 \(vi\),\(w\)i，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
\(0<N,V≤1000\)
\(0<vi,wi≤1000\)
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
二维方法
- 状态
f[i][j]定义：前 \(i\) 个物品，背包容量 \(j\) 下的最优解（最大价值）：
-
当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态
f[0][0] = 0开始决策，有 \(N\) 件物品，则需要 \(N\) 次决 策，每一次对第 \(i\) 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。
（2）当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 \(i\) 个物品最优解即为前 \(i−1\) 个物品最优解：对应代码：
f[i][j] = f[i - 1][j]。
（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 \(i\) 个物品：选：
f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选：f[i][j] = f[i - 1][j]。
我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取max()。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 体积
int w[MAXN]; // 价值
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
// 当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
if(j < v[i])
f[i][j] = f[i - 1][j];
// 能装，需进行决策是否选择第i个物品
else
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
一维方法
将状态f[i][j]优化到一维f[j]，实际上只需要做一个等价变形。
为什么可以这样变形呢？我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的i与j最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。
（1）状态f[j]定义：\(N\) 件物品，背包容量j下的最优解。
（2）注意枚举背包容量j必须从m开始。
（3）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。
（4）例如，一维状态第i轮对体积为 \(3\) 的物品进行决策，则f[7]由f[4]更新而来，这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4]，但从小到大枚举j这里的f[4]在第i轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量j时，我们求f[7]同样由f[4]更新，但由于是逆序，这里的f[4]还没有在第i轮计算，所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]。
（5）简单来说，一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被「污染」，逆序则不会有这样的问题。
状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i] 。
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= 0; j--)
{
if(j < v[i])
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 优化前
f[j] = f[j]; // 优化后，该行自动成立，可省略。
else
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 优化前
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); // 优化后
}
实际上，只有当枚举的背包的容量>= v[i]时才会更新状态，因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
关于状态f[j]的补充说明
二维下的状态定义f[i][j]是前 \(i\) 件物品，背包容量 \(j\) 下的最大价值。一维下，少了前 \(i\) 件物品这个维度，我们的代码中决策到第 \(i\) 件物品（循环到第i轮），f[j]就是前i轮已经决策的物品且背包容量 \(j\) 下的最大价值。
因此当执行完循环结构后，由于已经决策了所有物品，f[j]就是所有物品背包容量 \(j\) 下的最大价值。即一维f[j]等价于二维f[n][j]。
优化输入
我们注意到在处理数据时，我们是一个物品一个物品，一个一个体积的枚举。
因此我们可以不必开两个数组记录体积和价值，而是边输入边处理。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int f[MAXN]; //
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w; // 边输入边处理
for(int j = m; j >= v; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
