PCA主成分分析
好久没更新博客了，今天想写一下我对主成分分析（Principal components analysis）的理解。最开始接触到主成分分析（PCA for short）是在有关高光谱图像分类的论文中，PCA是作为对照方法凸显文中所提出的方法的优越性的。（感觉PCA好惨......）这同样也说明了，PCA应该是一个很经典，应用面很广的方法，并且性能也很好~~~正所谓木秀于林，风必摧之；PCA在我看的那几篇论文中总是作为陪衬，在这里我要为它正名~~~~（卧槽，正义属性满满啊）。废话少说，下面是正题。
在正式介绍PCA之前，我们先来想像一些平时在训练算法的过程中所遇到的情况。这里的情况是指数据的情况。Andrew Ng不是说过吗，当我们去解决一个机器学习问题时，我们可能会把大量的时间都花在观察数据上。可见，数据对整个算法有着不可比拟的重要性。但是在现实中，训练数据总是会存在各种的问题。而数据最重要的就是特征喽~~~这里引用博客园用户JerryLead的几个例子进行说明：
1、 比如拿到一个汽车的样本，里面既有以“千米/每小时”度量的最大速度特征，也有“英里/小时”的最大速度特征，显然这两个特征有一个多余。
2、 拿到一个数学系的本科生期末考试成绩单，里面有三列，一列是对数学的兴趣程度，一列是复习时间，还有一列是考试成绩。我们知道要学好数学，需要有浓厚的兴趣，所以第三项与第一项强相关，第三项和第二项也是强相关。那是不是可以合并第一项和第二项呢？
3、 拿到一个样本，特征非常多，而样例特别少，这样用回归去直接拟合非常困难，容易过度拟合。比如北京的房价：假设房子的特征是（大小、位置、朝向、是否学区房、建造年代、是否二手、层数、所在层数），搞了这么多特征，结果只有不到十个房子的样例。要拟合房子特征->房价的这么多特征，就会造成过度拟合。
4、 这个与第二个有点类似，假设在IR中我们建立的文档-词项矩阵中，有两个词项为“learn”和“study”，在传统的向量空间模型中，认为两者独立。然而从语义的角度来讲，两者是相似的，而且两者出现频率也类似，是不是可以合成为一个特征呢？
在上面的例子中，我们可以看到有很多数据的特征是冗余的，它们之间是有联系的。那我们就可以利用这些特征之间的内在联系来减少特征的维数，降低过拟合的风险。
咳咳，上面的大神举得例子确实很精辟，那下面我也用高光谱这个task进行一下说明（装逼模式已开启，前方高能预警，非战斗人员立即撤离！！！）：在高光谱图像分类领域主要是有两个关键点，一是由于高光谱图象是采集了几百个通道（也就是波段）的光谱信息，这就造成了单一像素点特征维数过高；二是标记样本成本太高，所以只能借助极少量的标记样本来完成分类任务。在这里，我们只关心第一点。
下面我们来正式介绍主成分分析（PCA），它可以解决部分上述问题哦~~~PCA的思想是将n维特征映射到k维上（n>k），这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主元，是重新构造出来的k维特征，而不是简单地从n维特征中去除其余n-k维特征所得到的特征。也就是说，在原来的n维特征中，是不存在我们后面用的k维特征的。
下面我们说一说PCA的计算过程，不得不说，第一次见到这个过程，感觉真是不一般的怪异...(这里以二维特征为例，数据集为Andrew Ng的q1x.dat)
第一步，分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例，都减去对应的均值。
第二步，求特征协方差矩阵，若特征为三维，则协方差矩阵为：
，这里特征为二维，协方差矩阵为：
。其中
。
第三步，求协方差的特征值和特征向量。
第四步，将特征值按照从大到小的顺序排序，选择其中最大的k个，然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。
第五步，将样本点投影到选取的特征向量上。假设样例数为m，特征数为n，减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n)，协方差矩阵是n*n，选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(n*k)。那么投影后的数据FinalData为
这样，就将原始样例的n维特征变成了k维，这k维就是原始特征在k维上的投影。上面得到的数据可以认为是learn和study特征融合为一个新的特征叫做LS特征，该特征基本上代表了这两个特征。
下面是实验结果，我用的是Andrew Ng的数据集q1x.dat，共有99个数据，每个数据有两个特征。序号1-50的数据为类型1（类标签为0）；序号为51-99的数据为类型2（类标签为1）。将降维之后的特征用散点图表示出来，如下所示：
可以发现，数据可以被明显的分为两类。下面附上源代码（matlab）：
function PCA
load q1x.dat;
mean1=sum(q1x(:,1))/99;
mean2=sum(q1x(:,2))/99;
qq=ones(99,2);
sum1=0;
qq(:,1)=q1x(:,1)-mean1;
qq(:,2)=q1x(:,2)-mean2;%分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例，都减去对应的均值。
cov1=sum(power(qq(:,1),2))/98;
cov4=sum(power(qq(:,2),2))/98;
for i=1:99
sum1=qq(i,1)*qq(i,2)+sum1;
end
cov2=sum1/98;
covx=[cov1 cov2;cov2 cov4];%求特征协方差矩阵
[V,D]=eig(covx)%求协方差的特征值和特征向量
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