BZOJ1925 [SDOI2010]地精部落

Description

传送门
求\(N\)的排列中有多少个波动数列.

波动数列是指对于数列中的每一个数,他两边的数必须严格小于或大于自己.

\[n \leq 4200, Mod \leq 1e9 \]

Solution

首先我们必须要搞清楚3个性质

• First: 在一个波动数列中，若两个 i 与 i+1 不相邻，那么我们直接交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列； 举个栗子： 5 2 3 1 4

4 2 3 1 5

• Second: 把波动数列中的每个数字Ai 变成 (N+1)-Ai 会得到另一个波动数列，且新数列的山峰与山谷情况相反；

举个栗子： 1 4 2 5 3 （用 6 - 每个数） 1是山谷，4是山峰，后面类推

5 2 4 1 3 这个数列也是波动的 ，且 5是山峰，2是山谷；

• Third: 波动序列有对称性。 栗子：1 4 2 5 3 to 3 5 2 1 4

(以上转自luogu)

那么我们设\(Dp[i][j]\)表示\(1\)到\(i\)的排列中, 当前数列首端为高度j的山峰的方案数.

考虑如果j,j - 1不相邻, 那么直接交换就可以.即\(Dp[i][j - 1]\)

如果相邻, 那么显然j - 1是山谷. 所以应用性质二,把山峰变成山谷,即:\(DP[i - 1][(i - 1 + 1) - (j - 1)] = DP[i - 1][i - j + 1]\)

所以答案为:\(DP[i][j] = DP[i][j - 1] + DP[i - 1][i - j + 1]\)

由于空间太小, 考虑滚动数组优化.

Codes

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; --i)
#define clar(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define Debug(s) debug("The massage in line %d, Function %s: %s\n", __LINE__, __FUNCTION__, s)
typedef long long LL;
typedef long double LD;
const int BUF_SIZE = (int)1e6 + 10;
struct fastIO {
    char buf[BUF_SIZE], buf1[BUF_SIZE];
    int cur, cur1;
    FILE *in, *out;
    fastIO() {
        cur = BUF_SIZE, in = stdin, out = stdout;
		cur1 = 0;
    }
    inline char getchar() {
        if(cur == BUF_SIZE) fread(buf, BUF_SIZE, 1, in), cur = 0;
        return *(buf + (cur++));
    }
    inline void putchar(char ch) {
        *(buf1 + (cur1++)) = ch;
        if (cur1 == BUF_SIZE) fwrite(buf1, BUF_SIZE, 1, out), cur1 = 0;
    }
    inline int flush() {
        if (cur1 > 0) fwrite(buf1, cur1, 1, out);
        return cur1 = 0;
    }
}IO;
#define getchar IO.getchar
#define putchar IO.putchar
int read() {
	char ch = getchar();
	int x = 0, flag = 1;
	for(;!isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') flag *= -1;
	for(;isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
	return x * flag;
}
void write(int x) {
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + 48);
}
void putString(char s[], char EndChar = '\n') {
	rep(i, 0, strlen(s) - 1) putchar(*(s + i));
	if(~EndChar) putchar(EndChar);
}

#define Maxn 4209
int n, p, dp[2][Maxn];
namespace INIT {
	void Main() {
		n = read(), p = read();
	}
}
namespace SOLVE {
	void Main() {
		dp[1][1] = 1;
		rep(i, 2, n) 
			rep(j, 1, i) 
				dp[i & 1][j] = (dp[(i - 1) & 1][i - j + 1] + dp[i & 1][j - 1]) % p;
		int ans = 0;
		rep(i, 1, n) ans = (ans + dp[n & 1][i]) % p;
		ans = ans * 2 % p;
		write(ans), putchar('\n');
	}
}
int main() {
#ifdef Qrsikno
	freopen("BZOJ1925.in", "r", stdin);
	freopen("BZOJ1925.out", "w", stdout);
#endif
	INIT :: Main();
	SOLVE :: Main();
#ifdef Qrsikno
	debug("\nRunning time: %.3lf(s)\n", clock() * 1.0 / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
	return IO.flush();
}