球盒问题
球盒问题的意思是有n个球，m个盒子，问将n个球放入m个盒子有多少种方案数。（n ≥ m）
其中有三个变量，分别是球是否不同、盒子是否不同、盒子是否为空，因此一共有8个问题。
其中
F[i][j] = F[i - 1][j - 1] + F[i - 1][j] * j
G[i][j] = G[i][j - 1] + G[i - j][j]
- 1.球不同，盒子不同，可以为空：
从一个球入手，每个球都可以放入任何一个盒子，因此每个球有m种放球方案，一共有n个球，所以总方案数是mn。
因为每个球不同，盒子不同，所以不会有重复的情况。
- 2.球相同，盒子不同，不可以为空：
因为球都是相同的，且盒子不同，所以可以使用隔板法来解决这个问题。
考虑将n个球排成一排，中间放入m - 1个隔板（因为盒子不可以为空，所以隔板不能重合且不能放在两边），这样球就被分成了m块，与将n个球放入m个盒子是一样的。
所以总的方案数就被转化成了放隔板的方案数，因为n个球两两之间有n - 1个缝隙，需要插入m - 1个隔板，且隔板之间不能重合，所以总的方案数就是C(n - 1, m - 1)。
- 3. 球相同，盒子相同，可以为空：
这个也可以用隔板法来求，因为盒子可以为空，所以板子可以相邻（及这个盒子为空），同时板子也可以放在两边（也表示这个盒子为空）。
这样又转化为了放隔板的方案数，但用上面那个解法做起来可能有点麻烦，考虑将球和板子看成同一种物体，有n + m - 1个空位，其中n个空位放球，m - 1个空位放板子，那么在这n + m - 1空位中，放m - 1个板子的方案数就是C(n + m - 1, m - 1);
- 4. 球不同，盒子相同，不可以为空：
这个可以用递推来求，设F[i][j]表示用j个盒子来装前i个球的方案数。
考虑第i个球此时的状态，它可以放入一个新的盒子中，因为所有的盒子都是相同的，所以放入任意一个新的盒子方案数都是相同的，那么方案数为F[i - 1][j - 1]（表示前i - 1个球放入j - 1个盒子里，然后用第j个盒子(其实用没装过小球的哪个盒子装都一样)来装第i个小球）；它也可以放入一个放过球的盒子里，因为球是不同的，所以放入j个盒子中，哪个盒子的方案是不同的，那么方案数就要 * j，及F[i - 1][j] * j（表示前i - 1个球放入j个盒子里，然后第i个小球放入j个盒子中任意一个）。
那么用j个盒子来装前i个球的方案数就是F[i - 1][j - 1] + F[i - 1][j] * j。
转移方程为F[i][j] = F[i - 1][j - 1] + F[i - 1][j] * j。
因为不可以为空，所以最后的答案就是F[n][m]。
- 5. 球不同，盒子相同，可以为空：
与上一个不同的是，盒子可以为空，而其他不变，因此F[i][j]的状态不变，方程转移也不变，只有最后的答案变了。
因为盒子可以为空，所以最终的答案和盒子的数量无关，因此只需要枚举盒子数量，答案累加F[n][i]（及将n个球放入i个盒子）即可。
- 6. 球不同，盒子不同，不可以为空：
这个和第4个也是一样的，但是因为这个盒子是不同的，所以最后的答案也会难免增加。
先通过打表发现盒子不同的方案数总是是盒子相同的方案数的 m! 倍，下面证明一下。
对于两个不同的盒子，在盒子相同的基础上，每种方案都可以将两个盒子中的球互换形成一种新的方案，于是盒子不同的方案就是盒子相同的方案的2倍；对于三个不同的盒子，每种方案都可以将第一个盒子中的球与第二个盒子中的球互换，第二个盒子中的球再与第三个盒子中的球互换……以此类推，共有6种互换方式，于是答案就 * 6。像这样，很容易得出是 * m!。
- 7. 球相同，盒子相同，可以为空：
这种情况用考虑第i个的方法做不出来了，于是考虑用一种操作来模拟放球的过程。
设置两个操作：1. 新建一个盒子； 2. 将每个盒子中增加一个球
设G[i][j]表示用j个盒子来装i个球的方案数，易得出转移方程为G[i][j] = G[i][j - 1]（新建一个盒子） + G[i - j][j]（将每个盒子中放入一个球）。
对于每个盒子，显而易见前面盒子中的球个数一定 ≥ 后面盒子中球的个数的，因此答案不会重复。
对于为什么这个操作与球盒问题的第七个相对应，是因为对于球相同且盒子相同，考虑第i个球，它可以放入一个新的盒子，但放入任何一个盒子的方案数都是相同的；它也可以放入一个有球的盒子里，但是在这个盒子中放入这个球后，这个盒子中的球的数量不能大于之前盒子中的数量，否则就会重复。
因此这个问题也是前面盒子中的球个数一定 ≥ 后面盒子中球的个数的，可以发现它与G数组性质一样，因此它们是一一对应的。
最后的答案就是G[n][m]。
这种做法是凭经验想出来的。
- 8. 球相同，盒子相同，不可以为空：
这个与上一个一样，但因为不可以为空，只需要在每个盒子中事先放入一个球即可。
于是这个答案就是G[n - m][m]。
