Bellman-Ford算法
参考资料：
最短路径算法—Bellman-Ford(贝尔曼-福特)算法分析与实现(C/C++)
Bellman-Ford算法详讲
算法推导建议参考第一篇文章，讲的很详细。
解析(摘自参考资料)：
Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。
这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。
适用条件&范围：
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;
Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为无穷大, Distant[s]为0；
以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
-
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
-
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
-
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
代码：
//
// main.cpp
// Bellman-Ford
//
// Created by wasdns on 16/11/20.
// Copyright © 2016年 wasdns. All rights reserved.
//
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
#define maxn 100000001; //无穷大
struct Edge //存储边的结构体
{
int u;
int v;
int weight;
};
Edge edge[10001]; //存储边的数组
int Fordlen[10001]; //源点到各个点的最短路径长度
/*
用于初始化Fordlen数组的函数
注意：源点到自身最短路径长度为0。
*/
void Initial(int n, int source)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
Fordlen[i] = maxn;
}
Fordlen[source] = 0;
}
/*
用于输入边，初始化图的函数
由两部分组成：
(1)调用Initial函数初始化；
(2)输入边，同时维护Fordlen数组
*/
void CreatGraph(int n, int edgenum, int source)
{
Initial(n, source);
for (int i = 1; i <= edgenum; i++)
{
cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight;
if (edge[i].u == source) {
Fordlen[edge[i].v] = edge[i].weight;
}
if (edge[i].v == source) {
Fordlen[edge[i].u] = edge[i].weight;
}
}
}
/*
松弛计算函数
*/
void relax_cal(int u, int v, int weight)
{
if (Fordlen[u] + weight < Fordlen[v]) {
Fordlen[v] = Fordlen[u] + weight;
}
}
/*
Bellman-Ford算法主体：
(1)初始化、建图；
(2)松弛计算，维护Fordlen数组；
(3)判断是否有负权环，有的话返回false。
*/
bool Alg_Bellman_Ford(int n, int edgenum, int source)
{
CreatGraph(n, edgenum, source); //(1)初始化
for (int i = 1; i <= n-1; i++) //(2)循环最多执行n-1次，每一次遍历所有边
{
for (int j = 1; j <= edgenum; j++)
{
relax_cal(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight);
}
}
bool flag = true; //(3)判断是否有负权边
for (int i = 1; i <= edgenum; i++)
{
if (Fordlen[edge[i].u] + edge[i].weight < Fordlen[edge[i].v]) {
flag = false;
break;
}
}
return flag;
}
/*
输出函数：
(1)如果没有负权环，输出Fordlen数组
(2)有负权环，输出"The graph has negative circle."
*/
void Print(bool flag, int n)
{
if (flag)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << Fordlen[i] << endl;
}
}
else cout << "The graph has negative circle." << endl;
}
int main()
{
int n, edgenum, source;
cin >> n >> edgenum >> source;
bool flag = Alg_Bellman_Ford(n, edgenum, source);
Print(flag, n);
return 0;
}
测试：
一:
4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2
结果：
The graph has negative circle.
二:
4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2
结果：
0
2
5
6
2016/11/20
