LeetCode 96. 不同的二叉搜索树

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https://blog.csdn.net/u012501459/article/details/46622501

题目

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解答

给定一个数n,求1到n这些数可以构成多少棵二叉树。

给定一个序列1.....n,为了构造所有二叉树,我们可以使用1......n中的每一个数i作为根节点,自然1......(i-1)必然位于树的左子树中,(i+1).....n位于树的右子树中。然后可以递归来构建左右子树,由于根节点是唯一的,所以可以保证构建的二叉树都是唯一的。

使用两个状态来记录:

G(n):长度为n的序列的所有唯一的二叉树。

F(i,n),1<=i<=n:以i作为根节点的二叉树的数量。

G(n)就是我们要求解的答案,G(n)可以由F(i,n)计算而来。

G(n)=F(1,n)+F(2,n)+...+F(n,n)                      (1)

G(0)=1,G(1)=1

对于给定的一个序列1.....n,我们取i作为它的根节点,那么以i作为根节点的二叉树的数量F(i)可以由下面的公式计算而来:

F(i,n)=G(i-1)*G(n-i) 1<=i<=n                         (2)

综合公式(1)和公式(2),可以看出:

G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0)

这就是上面这个问题的答案。

参考自:https://leetcode.com/discuss/24282/dp-solution-in-6-lines-with-explanation-f-i-n-g-i-1-g-n-i

可以看出这个问题和斐波拉也数列一样既可以用递归求解,也不可以不用递归求解,但是在leetcode中使用递归求解会显示超时。但是执行结果还是正确的。


解法一:递归解法

runtime:0ms

  1. class Solution {
  2. public:
  3. int numTrees(int n) {
  4. if(n==0||n==1)
  5. return 1;
  6. int result=0;
  7. for(int i=0;i<n;i++)
  8. result+=numTrees(i)*numTrees(n-i-1);
  9. return result;
  10. }
  11. };


解法二:非递归解法

  1. class Solution {
  2. public:
  3. int numTrees(int n) {
  4. int *G=new int[n+1]();
  5. G[0]=1;
  6. G[1]=1;
  7. for(int i=2;i<=n;i++)
  8. {
  9. for(int j=0;j<i;j++)
  10. G[i]+=G[j]*G[i-j-1];
  11. }
  12. return G[n];
  13. }
  14. };

解法三:数学公式

数学上有一个卡塔兰数(Catalan):

令h(0)=1,h(1)=1,卡塔兰数数满足递归式:

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递归关系;
该递推关系的解为:h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)
所以可以直接使用这个递归公式进行求解:
  1. class Solution {
  2. public:
  3. int numTrees(int n) {
  4. long long ans=1;
  5. for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
  6. {
  7. ans=ans*i/(i-n);
  8. }
  9. return ans/(n+1);
  10. }
  11. };


posted @ 2018-09-22 13:54  qq874455953  阅读(132)  评论(0编辑  收藏  举报