LeetCode 115.不同的子序列 详解

题目详情

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）
示例 1:

输入: S = "rabbbit", T = "rabbit"
输出: 3
解释:

如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 "rabbit" 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^

示例 2:

输入: S = "babgbag", T = "bag"
输出: 5
解释:

如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 "bag" 的方案。 
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^    ^
babgbag
^    ^^
babgbag
  ^  ^^
babgbag
    ^^^

题目详解

动态规划关键是找到递推公式， 而找到递推公式，首先就是要找到如何表示数组dp 然后找到递推关系。

我们可以发现。此题和编辑距离一样。都是由两个字符串， 是从一个字符串变到另一个字符串， 对于编辑距离这个题是在字符串1进行增， 删， 改操作变到字符串2， 此题是在字符串1里找到字符串2。

所以对于此题我们先构造dp， 类似于编辑距离， 定义dp[i][j]，表示字符串1的从0开始长度为i的字符串， 和字符串2的从长度为j的字符串， 这两个字符串匹配的个数。

下面就是要找递推式了

首先开始可能递推看不出来， 所以有些做法就是写一个例子， 然后把例子的dp全部写出来， 这里就以题目的S = “rabbbit”, T = "rabbit"例子

观察到

• 最终结果是dp[S.size()][T.size()]
• 每当S[i] == T[j]时， dp[i][j]会增加， 比如S = rabb, T = rab. 此时dp[i][j] = dp[i][j-1] + x （x为增加量）
• 当S[i] != T[j]时 dp[i][j] 会不变
• x是什么呢?，对于例子S=rabbb， T=rabb, x为2， 而dp[i-1][j-1] = 2, 而且其他的例子也能推出来，所以可以假设x = dp[i-1][j-1]
• 当计算dp[i][j]时， dp[i][j-1]是一定被包括进去的， 当两个字符串的最后一个字符相同时， 那么dp[i-1][j-1]也会包括进去

通过上面的分析， 我们已经找到了递推式子

dp[i][j] = dp[i][j-1] +  (s[i] == t[j]) ? dp[i-1][j-1] : 0

而且通过上面的例子 可以找到初始情况

dp[0][j] = 0;
dp[j][0] = 1; (包含空串)
dp[0][0] = 1 （防止第一个条件覆盖）

AC代码

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<int> > dp(t.size() + 1, vector<int>(s.size() + 1, 0));
        //初始化dp数组
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i < s.size() + 1; ++i) {
            dp[0][i] = 1;

        }
        for (int i = 1; i < t.size() + 1; ++i) {
            dp[i][0] = 0;
        }
            
        //dp循环求解
        for (int i = 1; i < t.size() + 1; ++i) {
            for (int j = 1; j < s.size() + 1; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                if (s[j - 1] == t[i - 1])
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return dp[t.size()][s.size()];
    }
};