『一本通』深搜的剪枝技巧

数的划分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,ans;

void dfs(int x,int s,int lst) {
    if(x==0&&s==0) {ans++; return ;}
    if(s==0||x<s) return ;
    for(int i=lst;i<=x;i++) dfs(x-i,s-1,i);
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dfs(n,k,1);
    printf("%d",ans);
}

 

Addition Chains

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,flag,ans[105];
void print() {
    for(int i=1;i<m;i++) printf("%d ",ans[i]);
    printf("%d\n",ans[m]);
}

void dfs(int step,int lst) { //lst:上一次取的外层循环的数+1
    if(step==m+1) {
        if(ans[m]==n) flag=1;
        return ;
    }
    for(int i=step-1;i>=lst;i--) //倒序枚举 
     for(int j=i;j>=1;j--) {
         ans[step]=ans[i]+ans[j];
         int s=ans[step];
         for(int k=step+1;k<=m;k++) s*=2; //计算当前形势下到第m项可得的最大值
         if(s<n) break; 
         if(ans[step]<=n) dfs(step+1,i+1);
         if(flag) return;
     }
}

int main() {
    ans[1]=1;
    while(scanf("%d",&n)) {
        if(!n) break;
        if(n==1) {puts("1"); continue;}
        for(flag=0,m=2;m<=n;m++) { //m枚举数列长度 
            dfs(2,1);
            if(flag) {print(); break;} 
        }
    }
}

 

平板涂色

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,ind[15],vis[15],m[15][15];
struct node{int x1,y1,x2,y2,cor;}a[15];
inline int read() {
    int x=0; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x;
}

void YU() {
    ans=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++)
      if(a[i].x2==a[j].x1&&!(a[i].y2<a[j].y1||a[i].y1>a[j].y2))
       ind[j]++,m[i][j]=1; //j矩形必须在i矩形涂色后，才能涂色
}
//目前涂色矩形的个数、刷子的颜色和拿起刷子的次数
void dfs(int num,int color,int cnt) { 
    if(ans<=cnt) return ;
    if(num==n) ans=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(!vis[i]&&!ind[i]) {
         vis[i]=1;
         for(int j=1;j<=n;j++)
          if(m[i][j]) ind[j]--;
         if(a[i].cor==color) dfs(num+1,color,cnt);
         else dfs(num+1,a[i].cor,cnt+1);
         vis[i]=0;
         for(int j=1;j<=n;j++)
          if(m[i][j]) ind[j]++;
     }
}

int main() {
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
     a[i]=(node){read(),read(),read(),read(),read()};
    YU(); //预处理
    dfs(0,0,0);
    printf("%d",ans);
}
//DFS（拓扑排序）

 

生日蛋糕

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 1e5
using namespace std;
int n,m,ans,a[21],b[21];
//已用体积、已有表面积、当前层数、上一层的半径和高 
void dfs(int v,int s,int p,int r,int h) {
    if(p==0) {
        if(v==n) ans=min(ans,s);
        return ;
    }
    if(s+a[p-1]>=ans) return ; 
    if(v+b[p-1]>n) return ;
    if(s+2*(n-v)/r>=ans) return ; //已有表面积+余下侧面积>=当前最优值 
    for(int i=r-1;i>=p;i--) { //倒序枚举半径 
        if(p==m) s=i*i;
        int H=min((n-v-b[p-1])/(i*i),h-1);
        for(int j=H;j>=p;j--) //倒序枚举高 
         dfs(v+i*i*j,s+2*i*j,p-1,i,j);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ans=INF;
    for(int i=1;i<=20;i++) {
        a[i]=a[i-1]+2*i*i; //第1~i层的最小表面积 
        b[i]=b[i-1]+i*i*i; //第1~i层的最小体积 
    }
    dfs(0,0,m,n+1,n+1);
    if(ans==INF) puts("0");
    else printf("%d",ans);
}

 

weight

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,sum,a[2005],ans[1005];
bool S[505];
inline int read() {
    int x=0; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x;
} 
 
void dfs(int l,int r,int sl,int sr,int k) {
    if(l==r) { //最后一个数 
        if(sum-sl-sr<=500&&S[sum-sl-sr]) {
           ans[l]=sum-sl-sr;  
           for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
           exit(0);
        } return ;
    }
    if(a[k]-sl<=500&&S[a[k]-sl]) { //a[k]为前缀和 
        ans[l]=a[k]-sl;
        dfs(l+1,r,a[k],sr,k+1);
    }
    if(a[k]-sr<=500&&S[a[k]-sr]) { //a[k]为后缀和 
        ans[r]=a[k]-sr;
        dfs(l,r-1,sl,a[k],k+1);
    }
}

int main() {
    n=read();
    for(int i=1;i<=2*n;i++) a[i]=read();
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) S[read()]=1;
    sort(a+1,a+2*n+1); 
    sum=a[2*n]; //sum:原数列各数之和 
    dfs(1,n,0,0,1);
}

 

小木棍

此题优化较多，详见题解传送门

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,sum,len,tot,a[65],vis[65];
int cmp(int x,int y) {return x>y;}
//正在拼接第k根原始木棍，还要拼接now的长度，上次使用的是p-1长的小木棍 
bool dfs(int k,int now,int p) {
    if(k==tot+1) return 1;
    if(now==0) return dfs(k+1,len,1); //拼接下一根原始木棍 
    for(int i=p;i<=n;i++) //从p开始枚举(之前的已经搜过) 
     if(!vis[i]&&a[i]<=now) {
         vis[i]=1; //标记此木棍已使用 
         if(dfs(k,now-a[i],i+1)) return 1;
         vis[i]=0;
         if(now==len||now==a[i]) return 0; //此木棍无法使用 
         while(a[i]==a[i+1]) i++; //避免使用相同长度的木棍 
     }
    return 0;
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]>50) i--,n--; 
        else sum+=a[i]; //sum统计所有小木棍长度之和 
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp); //将小木棍按长度从大到小排序(短的木棍后期拼接更灵活)
    for(int i=a[1];i<=sum;i++) //原始木棍的长度大于等于小木棍中最长的一根(a[1]) 
     if(sum%i==0) { //原始木棍的长度肯定是sum的约数 
         len=i,tot=sum/i;
         if(dfs(1,len,1)) {printf("%d",i); return 0;}
     }
} 

 

靶型数独

思路来自jolionvin

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,a[10][10],b[85];
bool flag,vis[3][10][10];
struct node{int h,zero;}row[10];
//按每行中0的个数从小到大排序 
int cmp(node x1,node x2) {return x1.zero<x2.zero;}

int Gong(int x,int y) { //获取(x,y)所在的小九宫格 
    int A=x%3==0?x/3:x/3+1;
    int B=y%3==0?y/3:y/3+1;
    return (A-1)*3+B;
}

int F(int x,int y) { //获取(x,y)对应的分数
    if(x==1||y==1||x==9||y==9) return 6;
    if(x==2||y==2||x==8||y==8) return 7;
    if(x==3||y==3||x==7||y==7) return 8;
    if(x==4||y==4||x==6||y==6) return 9;
    return 10;
}

int Score() { //当前数字组合下的总分数 
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=9;i++)
     for(int j=1;j<=9;j++) tot+=F(i,j)*a[i][j];
    return tot;
}

void dfs(int id) { //id:b数组的编号 
    if(id==82) {
        flag=1,ans=max(ans,Score());
        return ;
    }
    int x=b[id]/9+1,y=b[id]%9; //当前编号对应的行和列 
    if(y==0) x--,y=9;
    if(a[x][y]!=0) {dfs(id+1); return ;} //此方格已经被填入数字 
    int z=Gong(x,y);
    for(int i=1;i<=9;i++) {
        //判断当前i是否能够使用 
        if(vis[0][x][i]||vis[1][y][i]||vis[2][z][i]) continue;
        a[x][y]=i;
        vis[0][x][i]=vis[1][y][i]=vis[2][z][i]=1;
        dfs(id+1);
        a[x][y]=0;
        vis[0][x][i]=vis[1][y][i]=vis[2][z][i]=0;
    }
}

int main() {
    for(int i=1;i<=9;i++) {
        int cnt=0; //cnt:记录该行0的个数
        for(int j=1;j<=9;j++) {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            if(a[i][j]!=0) {
                int h=a[i][j],g=Gong(i,j);
                vis[0][i][h]=vis[1][j][h]=vis[2][g][h]=1;
            } //已经填好的数，所在的行/列/小九宫格均不可再使用该数 
            else cnt++;
        }
        row[i].h=i,row[i].zero=cnt;
    }
    sort(row+1,row+10,cmp); //优先安排0少的行
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=9;i++) //存储待搜索格子的优先顺序
     for(int j=1;j<=9;j++) b[++tot]=(row[i].h-1)*9+j; 
    dfs(1);
    if(!flag) puts("-1");
    else printf("%d",ans);  
}

 

埃及分数

分母的范围

$\frac{1}{i}\le\frac{x}{y}$，所以 $i\ge\frac{y}{x}$

$\frac{x}{y}/\frac{1}{i}\le len-tot+1$，所以 $i\le\frac{y}{x}(len-tot+1)$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int a,b,len;
LL Min=1e9,s[105],ans[105];

void dfs(int k,LL lst,LL x,LL y) {
    if(k>len) {
        if(!x&&s[len]<Min) {
            for(int i=1;i<=len;i++) ans[i]=s[i];
            Min=s[len];
        } return ;
    }
    LL l=max(lst+1,y/x),r=y/x*(len-k+1);
    for(LL i=l;i<=r;i++) {
        LL nx=x*i-y,ny=y*i;
        if(nx<0) continue;
        s[k]=i;
        dfs(k+1,i,nx,ny);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&a,&b);
    for(len=2;;len++) {
        dfs(1,1,a,b);
        if(Min<1e9) break;
    }
    for(int i=1;i<=len;i++) 
     printf("%lld ",ans[i]);
}