一个重要的函数

设$a$是复平面$\mathbb C$中的任意一点,$0<r<R$,则存在函数$\varphi$满足条件：

(1)$\varphi\in C^{\infty}(\mathbb C)$;

(2)$\mathrm{supp}\varphi\in B(a,R)$;

(3)当$z\in\overline{B(a,r)}$时,$\varphi\equiv1$;

(4)$\forall z\in\mathbb C$都有$0\leq \varphi(z)\leq 1$.

下面给出其具体形式：

任取$r<R_0<R$,令$$f(z)=\left\{\begin{matrix}e^{\frac{1}{(z-a)^2-R_1^{2}}}&,z\in B(a,R_1)\\0&,z\notin B(a,R_1)\end{matrix}\right.,g(z)=\left\{\begin{matrix}0&,z\in \overline{B(a,r)}\\e^{\frac{1}{r^2-|z-a|^2}}&,z\notin \overline{B(a,r)}\end{matrix}\right.$$

则$\frac{f}{f+g}$即为符合要求的函数。