系数非负递增的多项式根的问题

设多项式$P_{n}(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^n$,其系数满足$$0<a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{n}$$

那么这个多项式的$n$个根完全落在单位圆盘$B(0,1)$中.

证明    设$P_{n}(z)=0$且$|z|\geq1$,那么\begin{align*}a_{n}|z|^{n+1}&=\left|a_{0}+(a_{1}-a_{0})z+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})z^n\right|\\&\leq a_{0}+(a_{1}-a_{0})|z|+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})|z|^n\\\Rightarrow a_{n}|z|&\leq\frac{1}{|z|^{n}}\left(a_{0}+(a_{1}-a_{0})|z|+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})|z|^n\right)\\&\leq a_{0}+(a_{1}-a_{0})+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})\\&=a_{n}\end{align*}

因此$|z|=1$,不等式中等号成立,这要求$${\rm arg}a_{0}={\rm arg}(a_{1}-a_{0})z=\cdots={\rm arg}(a_{n}-a_{n-1})z^n$$

所以${\rm arg}z=0$,一定有$z=1$.但是显然$P_{n}(1)\neq0$.这说明多项式$P_{n}(z)$的根全部位于单位圆盘$B(0,1)$中.

 

利用这个结论便可以解决在史济怀、刘太顺《复变函数》P168中的这样一道习题：

设$0<a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{n}$,证明三角多项式$$a_{0}+a_{1}\cos\theta+\cdots+a_{n}\cos n\theta$$

在$(0,2\pi)$中有$2n$个不同的零点.