摘要：
Hamilton四元数群$Q_8=\mathbb H=\{\pm e,\pm i,\pm j,\pm k\}$满足如下运算法则: $e$为单位元且同号得正、异号得负,此外$e=i^2=j^2=k^2,ij=k,jk=i,ki=j;ji=-k,kj=-i,ik=-j$. 显然在上述运算下构成群. 并且 阅读全文
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设$G$是$60$阶的单群,我们来证明他同构于$A_5$,一个比较直观地思路是考虑群表示$\phi:G\to S(\Sigma)$,由同态基本定理得到$$G/{\rm Ker}\phi \simeq \phi(G)\leq S(\Sigma)$$ 注意$G$的单性以及${\rm Ker}\phi\t 阅读全文
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单复变函数几何理论最高的成就我想应该属于Riemann映射定理吧！Riemann映射定理：$\mathbb C$中任意边界多余一个点的单连通域$D$都与单位圆盘$B(0,1)$等价,即存在着$D$上的单叶全纯函数$f$使得$f(D)=B(0,1)$.而且$f$被如下条件所唯一确定：$$f(a)=0,... 阅读全文
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Mittag-Leffler分解定理的证明有多种，比如可以利用一维$\overline{\partial}$的解来构造相应的函数，还可以利用极点主部的Taylor多项式来进行修正使得$\sum(g_{n}-P_{n})$在$\mathbb C$上一致收敛来构造函数.这里要说一下,因为上述级数是一个亚... 阅读全文
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设$a$是复平面$\mathbb C$中的任意一点,$0<r<R$,则存在函数$\varphi$满足条件：(1)$\varphi\in C^{\infty}(\mathbb C)$;(2)$\mathrm{supp}\varphi\in B(a,R)$;(3)当$z\in\overline{B(a,... 阅读全文
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设$A\leq G$且$[G:A]<\infty$,则存在一个$A$的右陪集代表元系$R$,同时$R$也可以作为左陪集的代表元系. 阅读全文
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定理 设$p$为素数,则$p^2$阶群$G$必为Abel群. 阅读全文
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$\mathscr{F}$类:在单位元盘$B(0,1)$中满足$$f(0)=0,f'(0)=1$$的双全纯函数的全体. 阅读全文
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题目是：设$f(x)=\sum_{j=0}^{n}a_{j}x^j$是非零的实系数多项式,它的根也全是实根.试证多项式$$g(x)=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}a_{j}x^j$$的根也全是实根.先证明一个结论：设$n$次实系数多项式$P(x)$的根全是实根,则$P(x),P... 阅读全文
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Mittag-Leffler定理 设$D\subset\mathbb C$为区域,而$\{a_{n}\}$为$D$中互不相同且无极限点的点列,那么对于任意给定的一列自然数$\{k_{n}\}$,定义函数$$\psi_{n}(z)=\sum_{j=1}^{k_{n}}\frac{c_{n,j}}{(... 阅读全文