唯一分解定理（算术基本定理）及应用

算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积

N = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ... * pn^an

(其中p1、p2、... pn为N的因子，a1、a2、... 、an分别为因子的指数)

这样的分解称为 N 的标准分解式

应用：

（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：

N = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ... * pn^an

（2）N的因子个数     M(N)= (1 + a1)*(1 + a2)*(1 + a3)*...*(1 + an);

（3）它的全体正因数之和为

A(N) = (1 + p1 + p1^2 + p1^3 + ... + p1^n)*(1 + p2 + p2^2 +p2^3 +...+p2^n)*...

*(1 + pn + pn^2 + pn^3 + ... + pn^n); 

 

如果A(N) = 2N,那么N称为完全数

 

int fac[N][N], j;
//fac[i][0]表示第i个因子是什么，fac[i][1]表示第i个这个因子的个数（即唯一分解定理中该因子的指数）
void fact(int n)
{
    j = 0;//j表示n的因子个数
    memset(fac, 0, sizeof(fac));
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            fac[j][0] = i;
            while(n % i == 0)
            {
                n /= i;
                fac[j][1]++;
            }
            j++;
        }
    }
    if(n > 1)
    {
        fac[j][0] = n;
        fac[j][1] = 1;
    }
}//找n分解出来的因子，及其因子的指数