计算机图形学|两道习题
1． 设空间有两条线段AB和CD，其端点坐标分别为
，
和
，
，怎样判断它们是否相交？若相交，求出交点坐标。
解法1解答：
由端点坐标可知线段AB和CD的参数方程分别为：
如果线段AB和CD相交，则存在和，使下面的方程组：
由（1）式，（2）式即可求出和：
将求得的和代入（3）式，若满足（3）式，则线段AB和CD所在的直线相交。此时如果有：
则线段AB和CD相交，否则不相交。令代入线段AB的参数方程中或者令代入线段CD的参数方程即可求出交点坐标。
解法2解答：
由端点坐标可知线段AB和CD的参数方程分别为：
线段AB和CD在z=0平面上的正投影线段A’B’和C’D’端点坐标分别为
，
，
，
。
根据书中第一节介绍的方法（本答案不再重复该方法）可以判断出A’B’和C’D’是否有交点，如果没有交点，则线段AB和CD也没有交点。
如果有交点，假设交点坐标为
。因为做的是正投影，所以该交点对应的线段上的被投影点的x、y坐标值相同。假设线段AB和CD上对应该交点的点的坐标分别为
和
。将
坐标值分别代入线段AB和CD的参数方程中，可以分别计算出
和
，如果
=
，则线段AB和CD相交，且交点坐标为
，否则不相交。
2． 写一个算法，能迅速地判断一条直线与一个凸多边形是否相交，若相交求出交点。
解答：
设直线由两点
和
确定，凸多边形由顶点序列、
···
（共n个顶点）确定。
算法的基本思想是：取多边形一条边，判断该边的两个端点是否在直线的同侧，如果在同侧，则该边与直线无交点；如果两个端点在直线的异侧，则线段与直线有交点，计算交点。依次检查多边形的所有边即可求出多边形与直线的所有交点，因为是凸多边形，所以交点最多有两个，算法可以在求出两个交点后就停止。判断点在直线的哪一侧可使用第四节第二部分中介绍的方法，计算交点采用第一节中介绍的线段求交点中使用的方法。
算法具体过程如下：
(1) 首先计算A=y2-y1；B=x1-x2；C=x2y1-x1y2；
(2) 取多边形的P0点为P1，计算d1=A*P1.x+B*p1.y+C
(3) for (i=1; i<=n; i++)
{
1) 取多边形的下标为i%n的点为P2（这样可以在i=n时取P0点）；
2) 计算d2=A*p2.x+B*p2.y+C
3) if (d1==0)，表明P1点在直线上，P1点是一个交点；
4) else if (d1*d2<0)，表明P1和P2点在直线的异侧，该边与直线有交点，计算交点：
delta = (p2.x - p1.x) * (y1 - y2) - (x1 - x2) * (p2.y - p1.y)；
t = ((x1 - p1.x) * (y1 - y2) - (y1 - p1.y) * (x1 - x2)) / delta；
交点jdp的x，y坐标值分别为：
x = p1.x + (p2.x - p1.x) * t;
y = p1.y + (p2.y - p1.y) * t
5) 如果已经求得两个交点，则算法结束，否则令p1=p2，d1=d2；
}
(4) 如果没有求出交点，则直线与多边形不相交。
该算法当直线与多边形的一条边重合时，将该边的两个端点作为交点。
算法实现代码如下：
void CHW1View::GetJD(CArray<CPoint,CPoint>* points, int x1, int y1, int x2, int y2, CArray<CPoint,CPoint>* jd)
{
int d1,d2;
int a = y2 - y1;
int b = x1 - x2;
int c = x2*y1 - x1*y2;
CPoint p1 = (CPoint)points->GetAt(0);
CPoint p2;
d1 = a * p1.x + b * p1.y + c;
int n = points->GetSize();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
p2 = (CPoint)points->GetAt(i%n);
d2 = a * p2.x + b * p2.y + c;
if (d1 == 0)
{
jd->Add(p1);
}
else if ((d1<0 && d2>0) || (d1>0 && d2<0))
{
double delta = (p2.x - p1.x) * (y1 - y2) - (x1 - x2) * (p2.y - p1.y);
double t = ((x1 - p1.x) * (y1 - y2) - (y1 - p1.y) * (x1 - x2)) / delta;
CPoint jdp;
jdp.x = (int)(p1.x + (p2.x - p1.x) * t);
jdp.y = (int)(p1.y + (p2.y - p1.y) * t);
jd->Add(jdp);
}
if (jd->GetSize() == 2) return;
p1 = p2;d1 = d2;
}
}
代码中points存放多边形顶点坐标，jd存放计算得到的交点坐标，x1，y1，x2，y2为直线上的两点坐标。
