SICP读书笔记（二）费波拉契数最接近函数

练习 1.13 证明Fib(n)是最接近 φⁿ/√5的整数，其中φ=(1+√5)/2.提示利用归纳法和费波拉契数列定义，证明Fib(n)=(φⁿ-γⁿ)/√5.

斐波拉契数列定义：

             |  0        n=0

Fib(n) = | 1         n=1

             |  Fib(n-1) + Fib(n-2)  n>1.

 

假设存在Fib(n)=(φⁿ-γⁿ)/√5，

则 n=0时，(φⁿ-γⁿ)/√5 = 0，

     n=1时，(φⁿ-γⁿ)/√5 = 1

所以有 γ = (1-√5)/2.

证：

令 f(n) = (φⁿ-γⁿ),

那么

f(n-1) + f(n-2) = (φ^n-1-γ^n-1) + (φ^n-2-γ^n-2)

                      = (φ + 1) φ^n-2 - (γ + 1) γ^n-2

代入 φ=(1+√5)/2，γ = (1-√5)/2

                      = ((3+√5)/2) φ^n-2 - ((3-√5)/2) γ^n-2

                      = φ² * φ^n-2 - γ² * γ^n-2

                      = φⁿ  - γⁿ

                      = f(n)

综上所述f(n)递推关系与Fib(n)相同，且当 f(n)/√5 在n=0,1时与Fib值相同

所以Fib(n)=(φⁿ-γⁿ)/√5.

Fib(n)是最接近 φⁿ/√5的整数，其中φ=(1+√5)/2.