机器学习-导数

1、概念解释

（1）关于求导

　　求导是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算函数在某一点处的变化率（斜率），以及函数的最大值、最小值等。

　　对于一个函数y=f(x)，它在某一点x₀处的导数（即斜率）定义为：

f'(x₀) = lim (h→0) [f(x₀+h) - f(x₀)] / h

　　其中lim表示当h趋近于0时的极限。这个式子的意思是，我们考虑函数f(x)在x₀处左右两边的取值，当自变量增加一个无穷小量h时，函数值相应地增加f(x₀+h)-f(x₀)。那么，当h趋近于0时，f(x)在x₀处的变化率就可以近似地表示为这个差商的极限值。这个极限就是函数在x₀处的导数f'(x₀)。

　　一般来说，如果一个函数在某一点x₀处可导，那么它在这个点的导数就等于这个极限值。如果一个函数在某些点不可导，那么它在这些点处的导数不存在。当函数在某一点的导数为0时，这个点就可能是该函数的局部极值点。

（2）求导公式

　　求导的公式可以根据函数的类型和性质而变化。下面是一些常见函数的求导公式：

常数函数：如果y = c，其中c为常数，则导数为0，即dy/dx = 0。
幂函数：如果y = x^n，其中n为实数，则导数为dy/dx = nx^(n-1)。
指数函数：如果y = e^x，则导数为dy/dx = e^x。
对数函数：如果y = logₐ(x)，其中a为底数，则导数为dy/dx = 1 / (x ln(a))。
三角函数：
- 正弦函数：如果y = sin(x)，则导数为dy/dx = cos(x)。
- 余弦函数：如果y = cos(x)，则导数为dy/dx = -sin(x)。
- 正切函数：如果y = tan(x)，则导数为dy/dx = sec²(x)。
反三角函数：
- 反正弦函数：如果y = arcsin(x)，则导数为dy/dx = 1 / √(1 - x²)。
- 反余弦函数：如果y = arccos(x)，则导数为dy/dx = -1 / √(1 - x²)。
- 反正切函数：如果y = arctan(x)，则导数为dy/dx = 1 / (1 + x²)。
复合函数：如果y = f(g(x))，则根据链式法则，导数可以计算为dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)，其中f'表示f的导数，g'表示g的导数。