第8章：动态规划——《算法笔记

多阶段决策过程最优

问题由交叠的子问题构成

子问题：一次求解，永久保存

函数幂等

动态规划不但可以作为特殊的空间换时间权衡技术，

也可以经改进避免使用额外的空间

 

经典自底向上：需要求解所有子问题

试图避免不必要的子问题求解：递归

共同点：递推式

 

最优化法则：问题最优——子问题最优

反例：最长简单路径

 

例子：

一排硬币，选不相邻，总金额最大

前 i 枚最大+是否选i+1

 

问题描述

无限硬币，最少数目找零

总金额为n的最少的硬币数=某个面值d+总金额为（n-d）的最少的硬币数

 

左上角到右下角爬格子收集硬币

当前位置=max（左一格，上一格）

 

背包

n个物品，重量wi，价值vi，总承重W，最大化价值

是否包含物品i

 

记忆化功能：

自顶向下求解，记录已求解子问题

 

问题分解（递归思想）

问题构造（迭代思想）

问题分解为子问题的第一步：分解出最小可执行子问题

或分解为两个子问题

 

最优二叉查找树

满足左<父<右

元素查找概率已知　　

 最优=左子树最优+右子树最优+父节点

C（i,j）=min(C(i,k-1)+C(i,k+1))+all(p(i-j))

 

 

 

Warshall：有向图传递闭包

Flody：全部最短路径

 

有向图传递闭包：两点是否存在路径

深搜广搜得到：路径重复

n阶布尔矩阵

R0——Rn

自身可达——最大长度路径n-1！

不是矩阵乘法

 

完全最短路径

最短路径：距离矩阵

不包含负回路，包含？

 

矩阵中任意元素可由直接前驱计算得到

斐波那契

问题转换为斐波那契形式：内存优化

 

矩阵k：中间节点编号不大于k

 

适当初始化完成减枝？

 

习题：

1.

单元格路径：存在不可达点

 

木条切割：不同长度价格不同

堆分配可以借鉴么

 

象棋车

对角到对角

最短路径数目

排列组合/动态规划

 

计算二项式系数

 

有向无环图最长路径

决定了有前驱依赖任务的最少？时间

币值问题转化

 

矩阵内寻找最大0子方阵

 

AB比赛，直到一方n场胜利

A单场胜概率

AB已胜场次

获胜概率

 

背包：

自顶向下，自底向上

表每行每列

行间列间关系

 

数量不限

 

表格：不被求解的问题

直接可用的表格

 

最长公共子列

最优串？

多边形三角划分

 

3.

线性时间构造最优二叉树

 

常量时间

求和公式

构造最优二叉树的动态规划

 

查找概率的分布

 

等查找概率

 

构造不同的二叉查找树

数目

 

推广到搜索不成功

 

记忆功能求解最优二叉树

 

4.

传递闭包

 

不使用额外存储空间

 

改写循环，优化部分输入情况

 

矩阵：行列表

位串列表（位或操作）

 

有向图无向图

 

权重为负

 

.4.8

 

加强Floyd：同时求出最短路径