计算机中的二进制表示（定点数，浮点数）
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1 定点数二进制表示
在计算机内，有符号数有3中表示法：原码、反码、补码。
1.1 规则及表示方法
首先是对有符号数而言:
- 二进制的最高位是符号位：0–>正，1–>负
- 正数的原码，反码，补码一样
- 负数的反码==原码的符号位不变，其他的位取反
- 负数的补码==反码+1
- 0的反码，补码都是0。数值0的补码只有一个，即：0的补码=00000000B
- 计算机运算的时候都是以补码的方式运算的。
1.2 补充
- （-128）没有相应的原码和反码。(-128)=(1000 0000)补码
- 采用补码的原因:
- 使用补码可以使符号位与其他位统一进行处理。
- 减法可以按照加法处理。如果最高位（符号位）有进位，则进位就舍弃。
- 已知补码，求原码:补码的补码。（因为：对于二进制来说先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的）
2 浮点数二进制表示
根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
V = (-1)s * M * E
- (-1)s 表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
- M表示有效数字，大于等于1，小于2。
- 2E 表示指数位。
举例来说：十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×22 。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。
2.1 规则及表示方法
IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机 内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只 保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给 M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它
的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须
由E再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
比如，210 的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10(E的真实值)+127=137(E)，即10001001。
然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实
值，再将有效数字M前加上第一位的1。
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为
0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示
这个数不是一个数（NaN）。
2.2 平方根倒数速算法(不得不提到Quake-III Arena (雷神之锤3))
此段转自http://blog.renren.com/GetEntry.do?id=491777510&owner=245298353
Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配
置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初
DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle
Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake…每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几
乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。
最近，QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引 擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址： http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547
(下面是官方的下载网址，搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的。 ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)
我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数（在 game/code/qmath.c）， 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学 不完。在game/code/qmath.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比 (float)(1.0/sqrt(x))快4倍：
1 float Q_rsqrt( float number ) 2 { 3 long i; 4 float x2, y; 5 const float threehalfs = 1.5F; 6 7 x2 = number * 0.5F; 8 y = number; 9 i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking 10 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? 11 y = * ( float * ) &i; 12 y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration 13 // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed 14 15 return y; 16 }
函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。 注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好， 而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！ 这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“what the fuck?”的一句 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数 0x5f3759df 来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt(n)，这样我们只需要 2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
想了解更多： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%80%92%E6%95%B0%E9%80%9F%E7%AE%97%E6%B3%95#.E2.80.9C.E9.AD.94.E6.9C.AF.E6.95.B0.E5.AD.97.E2.80.9D https://sites.google.com/site/winddeep/sqrt
