01背包问题
背包九讲奉上
http://love-oriented.com/pack/P01.html
以HDU 2602为例:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推,对以第j个背包,其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可,即代码中的
for i=1..N for v=V..0
可以改成
for i=1..n bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]} for v=V..bound
这对于V比较大时是有用的。
二维:
#include <iostream> #include <string> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #include <stack> using namespace std; #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define pf printf #define sf scanf #define debug printf("!/m") #define INF 1000 #define MAX(a,b) a>b?a:b #define blank pf("\n") #define LL long long int dp[INF][INF]; int ci[INF]; int wi[INF]; int main() { int n,V,i,j,v,t; sf("%d",&t); while(t--) { sf("%d%d",&n,&V); MEM(dp,0); MEM(ci,0); MEM(wi,0); for(i = 1;i<=n;i++) { sf("%d",&wi[i]); } for(i = 1;i<=n;i++) { sf("%d",&ci[i]); } for(i = 1;i<=n;i++) { for(v = 0;v<=V;v++)//如果不允许有体积为0的东西可以设为1 { if(ci[i]<=v) dp[i][v] = MAX(dp[i-1][v],dp[i-1][v-ci[i]]+wi[i]); else dp[i][v] = dp[i-1][v]; } } pf("%d\n",dp[n][V]); } return 0; }
一维:
空间复杂度优化,时间复杂度基本不变
#include <iostream> #include <string> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #include <stack> using namespace std; #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define pf printf #define sf scanf #define debug printf("!/m") #define INF 1000 #define MAX(a,b) a>b?a:b #define blank pf("\n") #define LL long long int dp[INF]; int ci[INF]; int wi[INF]; int main() { int n,V,i,j,v,t; sf("%d",&t); while(t--) { sf("%d%d",&n,&V); MEM(dp,0); MEM(ci,0); MEM(wi,0); for(i = 1;i<=n;i++) { sf("%d",&wi[i]); } for(i = 1;i<=n;i++) { sf("%d",&ci[i]); } for(i = 1;i<=n;i++) { for(v = V;v>=ci[i];v--)//体积可以为0 { dp[v] = MAX(dp[v],dp[v-ci[i]]+wi[i]); } } pf("%d\n",dp[V]); } return 0; }
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