拓扑排序（附加leetcode 207 python解题答案）

拓扑排序，顾名思义，就是一种排序方法。这是一种什么排序？这种排序的作用？然后怎么去实现这种排序算法？现在就让我们仔细研究下。

 

1、什么是拓扑排序，也就是拓扑排序的概念

实际上，拓扑排序是一种图论算法，该算法在《数据结构与算法》一书中有涉猎。引用维基百科的定义：

在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序（英语：Topological sorting）。
（1）每个顶点出现且只出现一次；
（2）若A在序列中排在B的前面，则在图中不存在从B到A的路径。
也可以定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。

是不是觉得看完概念还是很晕的感觉，下面就用一个实例来讲具体的拓扑排序样例。

（a）有向图网（AOV）  （b）输出v6后       （c）输出v1后    （d）输出v4后 （e）输出v3后 （f）输出v2后

                                                           输出排序结果：v6-v1-v4-v3-v2-v5

此拓扑排序的思想是：

（1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；

（2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；

重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱 – 入度为零，删除顶点及以它为尾的弧– 弧头顶点的入度减1。

何谓入度？

我觉得得先明白什么是度？度（Degree）：一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数，顶点v的度记作d(v)。

入度：对于有向图来说，一个顶点的度可细分为入度和出度。一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数。

出度：出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。

以v6这个顶点为例，它的入度为0，出度为2。

以v5这个顶点为例，它的入度为3，出度为0。

以v4这个顶点为例，它的入度为2，出度为1。

以v3这个顶点为例，它的入度为1，出度为2。

以v2这个顶点为例，它的入度为2，出度为0。

以v1这个顶点为例，它的入度为0，出度为3。

经验证，一个有向五环图中所有顶点的入度之和(0+3+2+1+2+0=8)等于所有顶点的出度之和(2+0+1+2+0+3=8)。

2、拓扑排序的作用

不禁有人就问了，有很多排序算法啊，快速排序，插值排序，这个排序到底有什么优点呢？平常这种排序又用于哪种场景呢？

我们说快速排序是不稳定的，这是因为最后的快排结果中相同元素的出现顺序和排序前不一致了。如果用偏序的概念可以这样解释这一现象：相同值的元素之间的关系是无法确定的。因此它们在最终的结果中的出现顺序可以是任意的。而对于诸如插入排序这种稳定性排序，它们对于值相同的元素，还有一个潜在的比较方式，即比较它们的出现顺序，出现靠前的元素大于出现后出现的元素。因此通过这一潜在的比较，将偏序关系转换为了全序关系，从而保证了结果的唯一性。而拓扑排序就是一种将偏序转换为全序的一种算法。

这里要补充两个概念，偏序和全序？

偏序：有向图中两个顶点之间不存在环路，至于连通与否，是无所谓的。

全序：就是在偏序的基础之上，有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系(反映在图中，就是单向连通的关系，注意不能双向连通，那就成环了)。

意思就是讲，一个不确定的偏序关系经全序后就有一种确定的先后顺序了。

既然有先后，那么在实际生活中的选课问题，比如大一时一定要修完这门课，大二才学第二门课，这种排课问题就是拓扑排序问题。

 

题目如下：

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:

输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

方法一：拓扑排序，BFS

时间复杂度是O(N ^ 2)，空间复杂度是O(N)。

class Solution(object):
    def canFinish(self, N, prerequisites):
        """
        :type N,: int
        :type prerequisites: List[List[int]]
        :rtype: bool
        """
        graph = collections.defaultdict(list)
        indegrees = collections.defaultdict(int)
        for u, v in prerequisites:
            graph[v].append(u)
            indegrees[u] += 1
        for i in range(N):
            zeroDegree = False
            for j in range(N):
                if indegrees[j] == 0:
                    zeroDegree = True
                    break
            if not zeroDegree: return False
            indegrees[j] = -1
            for node in graph[j]:
                indegrees[node] -= 1
        return True   

　

方法二：拓扑排序，DFS

时间复杂度是O(N)，空间复杂度是O(N)。

class Solution(object):
    def canFinish(self, N, prerequisites):
        """
        :type N,: int
        :type prerequisites: List[List[int]]
        :rtype: bool
        """
        graph = collections.defaultdict(list)
        for u, v in prerequisites:
            graph[u].append(v)
        visited = [0] * N
        for i in range(N):
            if not self.dfs(graph, visited, i):
                return False
        return True
        
    def dfs(self, graph, visited, i):
        if visited[i] == 1: return False
        if visited[i] == 2: return True
        visited[i] = 1
        for j in graph[i]:
            if not self.dfs(graph, visited, j):
                return False
        visited[i] = 2
        return True

　参考博客：https://blog.csdn.net/a20180825/article/details/76718465

    参考博客：https://blog.csdn.net/fuxuemingzhu/article/details/82951771