关于 K 维空间中整点之间曼哈顿距离最短路径计数问题

约定

$K$ 维空间中，整点的坐标以 $K$ 个整数表示，形如

$Point\left(X_1,X_2,\cdots,X_k\right)$

定义两个点的曼哈顿距离为 每一维坐标差的绝对值之和，记为

$MD\left(A, B\right) = \sum_{i=1}^{K} \left|{X_{i_A}-X_{i_B}}\right|$

定义两个点 $A$ , $B$ 相邻 当且仅当满足

$MD\left(A, B\right) = 1$

最短路径计数

每次只能移动到相邻的点，容易发现 $S$ 到 $T$ 的曼哈顿距离最短路径可能经过的点构成了一个 $K$ 维方体，而 $S$ 和 $T$ 正为此方体相对的两个顶点。

三维空间中示意图如下：

我们定义在第 $i$ 维坐标上 $\pm 1$ 为操作 $i$，显然的是，需要什么操作及具体个数是已知的，总数为

$MD\left(S,T\right)$

那么一条路径就可以转换成一个操作序列，不同的路径数量等价于本质不同的序列数量。
两个序列本质不同当且仅当至少存在一个位置上的操作编号不同。

显然在排列中，同样的操作本质不同，但实际上，它们是相同的，所以需要去重。

则总方案数为

$\frac{MD\left(S,T\right)!}{\Pi_{i=1}^{K} \left(\left|{X_{i_S}-X_{i_T}}\right|!\right)}$

扩展

假定在此 $K$ 维空间中，存在一些整点是不能经过的（保证不为 $S$ 和 $T$），那么 $S$ 到 $T$ 的最短路径数量会有什么变化呢？

我们称不能经过的点为 标记点
并定义两个点之间不经过标记点的最短路径条数为

$AMDC\left(A,B\right)$

在不考虑标记点时，

$AMCD\left(A, B\right) = \frac{MD\left(A,B\right)!}{\Pi_{i=1}^{K} \left(\left|{X_{i_A}-X_{i_B}}\right|!\right)}$

同时令

$f_i=AMDC\left(S,i\right)$

显然，真正对我们有用的只有 $K$ 维方体内的标记点和 $T$ 点的 $f$ 值，考虑 $DP$ 转移。

那么，$A$ 点对 $B$ 点的 $f$ 造成影响的充要条件是什么？
可以发现为

$x_{i_A} \le x_{i_B} \left( x | x \in \left[ 1,K \right] \right)$

也就是 $K$ 维偏序。

所以

$f_i = AMDC\left( S, i \right) - \sum_{j} g\left(j, i\right) \times f_j \times AMDC\left(j, i\right)$

其中，

$g\left(A, B\right) = \left\{ \begin{aligned} 1 \qquad& x_{i_A} \le x_{i_B} \left( x | x \in \left[ 1,K \right] \right)\\ 0 \qquad& \text{otherwise.} \end{aligned}\right.$

满足 $g\left(S, T\right) = 1$

用到了一点小容斥。
可以画一下二维空间中的图来帮助理解。

如有任何问题请私信作者 @qkhm