[HAOI2011] 问题B

  莫比乌斯反演+容斥原理。

  首先对于m，n，设 f( k,m,n ) 为满足 1<=x<=m，1<=y<=n 且 gcd( x,y ) == k 的数对个数。

  那么对因每一个询问 ans = f( k,b,d ) - f( k,a-1,d ) - f( k,b,c-1 ) + f( k,a-1,c-1 ) 。

  现在考虑如何求 f( k,m,n )。

  在我们的每一次计算中m,n是确定的，因此我们直接设 f[k] 表示在给定范围中满足条件的数对个数。

  往莫反的形式上靠。

  设 F(k) 表示满足 gcd( x,y ) 为 k 的倍数的数对 ( x,y ) 的个数，而 F(k) = ( m/k ) * ( n/k )。

  则                     F(k) = Σ f(d)    { d|k }

  反演得到           f(k) = Σ u( d/k ) * F( k )    { k|d } （下同）

                           f(k) = Σ u( d/k ) * ( m/k ) * ( n/k )

  设                     T = d/k

  则                     f(k) = Σ u( T ) * ( m/( d/T ) ) * ( n/( d/T ) )

  这样我们就可以考虑枚举 T 了。

  但是在特殊情况下依然效率依然不高。

  而注意到，m/x 只有根号级的取值，n/x 同样，所以 m/x * n/x 的取值是根号级别的。

  也就是说对于一段连续的 T ，上式后半部分的取值是相同的，所以我们可以预处理出莫反函数的前缀和，提公因式直接求出这一段的值，单次计算的时间复杂度优化到根号级，足以应对数据规模。

  现在剩下的一个小问题就是如何求出那一段相同的 m/x * n/x 的起终位置。

  方便起见只举例 m/x。

  设 k = m/x ，且 x 是最小的使得除 m 的值为 k 的整数，那么最大的使除 m 为 k 的整数就是 m/k 。

  可以自己举几个例子看看。

 

// q.c
// 我就知道一定会写挂筛~~~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int M=50000;
int cnt,prime[M+10],mu[M+10],s[M+10];
bool vis[M+10];
void prepare() {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=M;i++) {
		if(!vis[i]) {
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=M;j++) {
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i]; // 又是这里挂了...
			else { mu[i*prime[j]]=0; break; }
		}
	}
	for(int i=1;i<=M;i++) s[i]=s[i-1]+mu[i];
}
LL cal(int n,int m,int k) {
	LL ans=0; int last=1,x=0,y=0;
	n/=k,m/=k; 
	for(int i=1;;i=last+1) {
		x=n/i,y=m/i;
		if(!x||!y) break;
		last=min(n/x,m/y);
		ans+=(LL)(s[last]-s[i-1])*x*y;
	}
	return ans;
}
LL solve(int a,int b,int c,int d,int k) {
	LL A=cal(b,d,k);
	LL B=cal(a-1,d,k);
	LL C=cal(b,c-1,k);
	LL D=cal(a-1,c-1,k);
	return A-B-C+D;
}
int main() {
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	prepare();
	int n,a,b,c,d,k;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		printf("%lld\n",solve(a,b,c,d,k));
	}
	return 0;
}