数据结构与算法【Java】10---图
前言
数据 data 结构(structure)是一门 研究组织数据方式的学科，有了编程语言也就有了数据结构.学好数据结构才可以编写出更加漂亮,更加有效率的代码。
- 要学习好数据结构就要多多考虑如何将生活中遇到的问题,用程序去实现解决.
- 程序 = 数据结构 + 算法
- 数据结构是算法的基础, 换言之，想要学好算法，需要把数据结构学到位
我会用数据结构与算法【Java】这一系列的博客记录自己的学习过程，如有遗留和错误欢迎大家提出，我会第一时间改正！！！
注：数据结构与算法【Java】这一系列的博客参考于B站尚硅谷的视频，文章仅用于学习交流，视频原地址为【尚硅谷】数据结构与算法（Java数据结构与算法），大家记得一键三连哦~
上一篇文章数据结构与算法【Java】09---多路查找树
1、图的简介
1.1、为什么要有图
- 前面我们学习了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要 表示多对多的关系时， 这里我们就用到了 图
1.2、图的定义
- 图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构，图与他们的不同表现在节点之间的关系上
- 在图结构中，顶点之间的关系可以是多对多，即某一顶点与其他顶点间的关系是任意的，既可以有关也可以无关
- 图由两个集合V和VR组成，其中V是有限顶点的集合，VR是顶点关系的有限集合
- 习惯上将图中的数据元素成为顶点
1.3、图的基本概念
-
顶点(vertex)
-
边(edge)
-
度：顶点V的度是与V相关联的边的数目（顶点的度=入度+出度）
-
路径
-
无向图
-
有向图
-
带权图
-
完全图
一个具有n个节点的无向图，其边数小于或等于
n*(n-1)/2,如果边数恰好等于n*(n-1)/2,n个顶点的无向图称为完全图
2、图的存储
数据结构在存储时重点考虑存储数据+关系，图有4中比较常用的存储方法，我们重点学习前两种
- 邻接矩阵（二维数组）
- 邻接表（链表）
- 邻接多重表（无向图）
- 十字链表（有向图）
2.1、邻接矩阵
接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1....n
个点。
- 对于无向图而言，其邻接矩阵第i行元素之和就是图中第i个顶点的度
- 比如：第0行之和为4，那么顶点0的度就为4
- 对于有向图而言，其邻接矩阵第i行元素之和就是图中第i个顶点的出度
- 对于有向图而言，其邻接矩阵第i列元素之和就是图中第i个顶点的入度
2.2、 邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
举例说明：
（1）无向图
（2）邻接表
2.3、图的代码实现
1、要求: 代码实现如下图结构.
2、思路分析：
(1) 存储顶点 String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges
3、核心代码
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
3、图的遍历
与树的遍历类似，图的遍历（ traversing graph ）是从某一顶点出发按序访问图中所有结点，且使每个结点仅被访问一次。
遍历图比遍历树要复杂，因为图中的某一个顶点可能与图中其余顶点相邻接，即图中可能有回路。所以当从某一顶点访问其他顶点后，有可能顺着某一些边又回到了该顶点。因此在遍历图时，为了保证图中的各顶点在遍历过程中被访问且仅被访问一次，则需要为每个顶点设一个访问标志。设置一个数组，用于标示图中每个顶点是否被访问过，它的初始值全部为0（假），表示顶点均未被访问过；某一个顶点被访问后，置相应访问标志数组中的值为1（真），表示该顶点已被访问过。
按图中结点的访问顺序，图的遍历分两种：一种是深度优先遍历（搜索），另一种是广度优先遍历（搜索）。
3.1、深度优先遍历（DFS）
3.1.1、深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问
第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：
每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。 - 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然，深度优先搜索是一个递归的过程
3.1.2、深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
- 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
- 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
- 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
分析图：
具体过程分析：
1、假设从A开始，A找到B,B存在且未被访问，下一次就从B为初始节点开始寻找(注意节点遍历过后要记录已被访问)
2、从B开始寻找，A已被访问，再找到C,将C标记为已访问，下一次从C为初始节点开始寻找
3、从C开始寻找，A,B已经被访问，找不到能够直接连接的顶点，退回B
4、从B开始寻找，A,C已经被访问，找到D,将D标记为已访问，下一次从D为初始节点开始寻找
5、从D开始寻找，B已经被访问，找不到能够直接连接的顶点，退回B
6、从B开始寻找，A,C,D已经被访问，找到E,将E标记为已访问，下一次从E为初始节点开始寻找
7、从E开始寻找，B已经被访问，找不到能够直接连接的顶点，退回B
8、从B开始寻找，A,C,D,E已经被访问,找不到能够直接连接的顶点
9、最后再从A开始进行递归遍历发现都已经被访问就结束
3.1.3、深度优先遍历代码实现
核心代码
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
3.2、广度优先遍历(BFS)
3.2.1、广度优先遍历基本思想
- 图的广度优先搜索(Breadth First Search) ,按照广度方向搜索。
- 与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索先访问完所有的邻接点，在去寻找与邻接点相邻的下一层的其他节点，类似于树的层次遍历
3.2.2、广度优先遍历算法和步骤
- 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
- 结点 v 入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点 u。
- 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
- 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
6.2 结点 w 入队列
6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。
分析图：
具体过程分析：
1、从A开始找到B,将A,B标记为已访问，下一次从A开始
2、从A开始找到B的后继节点C，将C标记为已访问，下一次从A开始
3、从A开始找，B,C已经被访问，找不到，下一次从B开始
4、从B开始找,A,C已经被访问，找到D,将D标记为已访问，下一次从B开始
5、从B开始找,A,C,D已经被访问，找到E,将E标记为已访问，下一次从B开始
6、从B开始找,A,C,D,E已经被访问，找不到
7、最后再从A开始进行递归遍历发现都已经被访问就结束
3.2.3、广度优先遍历代码实现
核心代码
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
3.3、图的遍历代码汇总
整体代码：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建ok
int n = 8; //结点的个数
String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); //
graph.insertEdge(1, 2, 1); //
graph.insertEdge(1, 3, 1); //
graph.insertEdge(1, 4, 1); //
//显示邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试，我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // A->B->C->D->E
System.out.println();
System.out.println("广度优先");
graph.bfs(); // A->B->C->D-E
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for(int[] link : edges) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
结果：
3.4、图的深度优先与广度优先应用实例
代码实现（将3.3中的代码进行修改即可）
int n = 8; //结点的个数
//String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
//更新边的关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
结果：
注意事项
1、深度优先搜索与广度优先搜素的结果不是唯一的，搜索的顺序跟存储结构和算法本身相关（如开始节点不同，搜索结果就不同）
2、使用邻接矩阵方式存储，深度优先搜索的时间复杂度为O(n²）,n为顶点数，广度优先搜索的时间复杂度为O(n²）
3、使用邻接表方式存储，深度优先搜索的时间复杂度为O(n+e),e是无向图中的边数或有向图中的弧数，n为顶点数，广度优先搜索的时间复杂度为O(n+e)
4、深度优先搜索用标记数组标记已被访问，广度优先搜索需要一个队列来保持访问过得顶点的顺序，以便按顺序访问这些顶点的邻接顶点
好啦，到这里关于图的基础内容就结束了，关于图的应用像最小生成树，拓扑排序，关键路径，最短路径等问题会在常用算法总结中详细说明，
希望这篇文章对大家有所帮助(｡･ω･｡)ﾉ♥
