最大权独立集问题
题意
给出 \(n\) 个点的二叉树，一次删边的代价是两个点的点权和，并交换两个点，求将所有边都删除的最小花费。
dp
这题的关键就在于：巧妙的 dp 方程。
-
方程定义：
令 \(u, v\) 表示两个节点，\(y = \text{lca}(u, v)\)，\(d_u\) 表示点 \(u\) 的权值，\(x\) 是 \(y\) 的父亲, 它还未确定。
\(f_{u, v}\) 表示在 \(y\) 的子树中，将 \(x\) 移到 \(v\) 原来所在位置，并且将 \(u\) 移到 \(x\) 原来所在位置，将所有子树所有边和 \((x, y)\) 断掉的最小花费，(不包含 \(x\) 的产生贡献)。
理解：感觉和函数差不多，将结点 \(x\) 放入子树内某个位置，返回另一个节点 \(u\)。
- 用 \(a \to b\) 表示: 将 \(a\) 移到原来 \(b\) 所在位置。
-
转移：
图的顺序是红到绿到蓝。
二叉树儿子个数最大是 \(2\), 就按照儿子个数分类讨论。
令 \(r\) 为当且节点，\(x\) 是 \(r\) 待定的父亲， \(\text{sz}\) 为儿子个数。
-
\(\text{sz} = 0\)
叶子节点的话，当且仅当
\[f_{r, r} = d_r \]解释：只能将 \(x\) 放入 \(r\) 所在的位置，并且将 \(r\) 移到 \(x\) 所在为值。
这个就不画了吧。
-
\(\text{sz} = 1\)
只有一个儿子 \(v_1\)的话，考虑 \(f_{u, v}\)，并且 \(\text{lca}(u, v) = r\) 的话，其中一个必然是 \(r\)。
-
\(u = r\)
需要满足 \(x \to v\), \(r \to x\)。
操作：第一步必须交换 \(x, u\)，剩下就在儿子 \(v_1\) 所在子树找个最小代价的点 \(w\) 移出来，并把 \(x \to v\)。
\[f_{u, v} = \min_{w} \{ d_u + f_{w, v}\}(\text{lca}(w, v) = v_1) \]枚举 \(v, w\) 在 \(O(n^2)\) 内转移即可。
-
\(v = r\)
需要满足 \(x \to r\), \(u \to x\)。
操作：在 \(v_1\) 的子树中，枚举交换的方案，需要将 \(u\) 交换到 \(v_1\) 的位置，然后交换 \(r, u\)，再交换 \(u, x\)。
\[f_{u, v} = \min_{w} \{ f_{u, w} + d_u + d_v \times (\text{dep}_w - \text{dep}_v)\}(\text{lca}(u, w) = v_1) \]注意: 这里 \(v(r) \to w\) 的贡献是确定的，因此要算入方案里。
枚举 \(u, w\), 在 \(O(n^2)\) 内转移即可。
-
-
\(\text{sz} = 2\)
有两个儿子 \(v_1, v_2\)。
仍然是考虑 \(f_{u, v}\) 并且 \(\text{lca}(u, v) = r\)。
-
\(u = r\)
要把 \(u(r)\) 移到 \(x\), 必须首先交换\(u, x\), 不然换进子树就回不来了。然后 \(x \to v\)，然后找个最小的方案解决剩下的边。
\[f_{u, v} = \min_{a,b,w}\{d_u + f_{w,v} + d_w \times(\text{dep}_b -\text{dep}_u) + f_{a, b}\}(\text{lca}(a, b) = v_2, \text{lca}(v, w) = v_1) \]\(v_1, v_2\) 在这里仅表示不同的儿子。
似乎要枚举 \(v, a, b, w\) 转移，实际上, 需要同时枚举的只有 \(a, b\) 、 \(b, w\) 和 \(w, v\)。
于是可以先枚举 \(a, b\)，只变成与 \(b\) 有关，再枚举 \(b, v\) 只变得与 \(v\) 有关，以此类推。
都能在 \(O(n^2)\) 完成。
-
\(v = r\)
先把 \(u\) 不在的子树全部边断完，再把 \(u\) 所在子树断完，现在 \(u\) 在原来 \(v(r)\) 位置上, 最后再交换 \(u, x\)。
\[f_{u, v} = \min _{a,b,w} \{ f_{a, b} + d_v \times (\text{dep}_b - \text{dep}_v) + f_{u, w} + d_a \times (\text{dep}_w - \text{dep}_v) + d_u\}(\text{lca}(a, b) = v_1, \text{lca}(u, w) = v_2) \]枚举 \(u, a, b, w\)， 和上面一样，同时有关的有 \(u, w\)、\(a, b\) 和 \(a, w\)。
都在 \(O(n^2)\) 内完成。
-
\(u \neq r, v \neq r\)
先 \(u \to r\), 交换 \(u, x\), 再 \(x \to v\)。
\[f_{u, v} = \min_{w, a} \{ f_{u, w} + d_r \times (\text{dep}_w - \text{dep}_r) + d_u + f_{a, v} \}(\text{lca}(u, w) = v_1, \text{lca}(a, v) = v_2) \]枚举 \(u, w, a, v\), 同时有关 \(u, w\)、 \(a, v\)和 \(u, v\)。
\(O(n^2)\) 内完成转移。
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-
求最终答案
当 \(r = 1\) 时，就不做上面的转移，因为 \(1\) 没有父亲。(其实做了也没事，后三个点超时而已。)
也按儿子个数分类
- \(\text{sz} = 1\)
\[\text{ans} = \min_{u, v} \{f_{u, v} + d_1 \times (\text{dep}_v - \text{dep}_1) \} (\text{lca}(u, v) = v_1) \]枚举所有 \(u, v\)， \(O(n^2)\) 即可。
-
\(\text{sz} = 2\)
\[\text{ans}= \min_{u, v, a, b} \{ f_{u, v} + d_1 \times (\text{dep}_v - \text{dep}_1) + f_{a, b} + d_u \times (\text{dep}_b - \text{dep}_1)\}(\text{lca}(u, v) = v_1, \text{lca}(a, b) = v_2) \]枚举 \(u, v, a, b\), 同时有关 \(u, v\)、 \(a, b\) 和 \(u, b\)。
\(O(n^2)\) 即可。
注意事项：
-
不开 long long 见祖宗。
-
枚举形如 \(\text{lca}(u, v) = d\) 的无序对 \((u, v)\) 时，枚举的范围是子树，不然最后总体时间复杂度是 \(O(n^3)\), 和树形背包的时间复杂度一样，合理利用宏定义。
-
注意转移时的所有点用的都是原来的位置。
代码
暴力转移 (20'):
int n;
int d[MAXN];
int idx;
int dfn[MAXN], dep[MAXN];
int L[MAXN], R[MAXN], ls[MAXN], rs[MAXN];
ll f[MAXN][MAXN];
vector<int> e[MAXN];
void getpath(int d, vector<pair<int, int>> &v) {
v.clear();
v.emplace_back(d, d);
int l = ls[d], r = rs[d];
for (int i = L[l]; i <= R[l]; i ++)
for (int j = L[r]; j <= R[r]; j ++)
v.emplace_back(dfn[i], dfn[j]),
v.emplace_back(dfn[j], dfn[i]);
for (int i = L[d] + 1; i <= R[d]; i ++)
v.emplace_back(d, dfn[i]),
v.emplace_back(dfn[i], d);
}
int lca[MAXN][MAXN];
void dfs(int r) {
dfn[++ idx] = r;
L[r] = idx;
for (int v : e[r]) {
dep[v] = dep[r] + 1;
dfs(v);
}
R[r] = idx;
int siz = e[r].size();
if (siz == 0) {
f[r][r] = d[r];
ls[r] = rs[r] = 0;
}
if (siz == 1) {
int v1 = e[r][0];
ls[r] = v1; rs[r] = 0;
}
if (siz == 2) {
int v1 = e[r][0], v2 = e[r][1];
ls[r] = v1, rs[r] = v2;
}
vector<pair<int, int>> path;
getpath(r, path);
for (auto x : path) {
int u = x.first, v = x.second;
assert(lca[u][v] == 0);
lca[u][v] = r;
}
if (siz == 1) {
int u = r, D = e[u][0];
for (int v = 1; v <= n; v ++)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
if (lca[v][w] == D)
f[u][v] = min(f[u][v], d[u] + f[w][v]);
int v = r;
for (int u = 1; u <= n; u ++)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
if (lca[u][w] == D)
f[u][v] = min(f[u][v], f[u][w] + d[u] + 1ll * d[v] * (dep[w] - dep[v]));
}
if (siz == 2) {
int v1 = e[r][0], v2 = e[r][1];
int u = r;
for (int v = 1; v <= n; v ++)
if (lca[u][v] == r)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
for (int a = 1; a <= n; a ++)
for (int b = 1; b <= n; b ++)
if ( (lca[v][w] == v1 && lca[a][b] == v2) ||
(lca[v][w] == v2 && lca[a][b] == v1))
f[u][v] = min(f[u][v], d[u] + f[w][v] + f[a][b] + 1ll * d[w] * (dep[b] - dep[u]));
int v = r;
for (int u = 1; u <= n; u ++)
if (lca[u][v] == r)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
for (int a = 1; a <= n; a ++)
for (int b = 1; b <= n; b ++)
if ( (lca[u][w] == v1 && lca[a][b] == v2) ||
(lca[u][w] == v2 && lca[a][b] == v1))
f[u][v] = min(f[u][v], f[a][b] + 1ll * d[v] * (dep[b] - dep[v]) + f[u][w] + 1ll * d[a] * (dep[w] - dep[v]) + d[u]);
for (int u = 1; u <= n; u ++)
for (int v = 1; v <= n; v ++)
if (lca[u][v] == r)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
for (int a = 1; a <= n; a ++)
if ( (lca[u][w] == v1 && lca[a][v] == v2) ||
(lca[u][w] == v2 && lca[a][v] == v1))
f[u][v] = min(f[u][v], f[u][w] + 1ll * d[r] * (dep[w] - dep[r]) + f[a][v] + d[u]);
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> d[i];
for (int i = 2, c; i <= n; i ++) {
cin >> c;
e[c].emplace_back(i);
}
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
L[0] = 0, R[0] = -1;
dfs(1);
ll ans = INF;
int sz = e[1].size();
if (sz == 1) {
int v = ls[1];
for (int a = 1; a <= n; a ++)
for (int b = 1; b <= n; b ++)
if (lca[a][b] == v)
ans = min(ans, f[a][b] + 1ll * d[1] * dep[b]);
}
if (sz == 2) {
int v1 = ls[1], v2 = rs[1];
for (int a = 1; a <= n; a ++)
for (int b = 1; b <= n; b ++)
for (int u = 1; u <= n; u ++)
for (int v = 1; v <= n; v ++)
if ( (lca[a][b] == v1 && lca[u][v] == v2) ||
(lca[a][b] == v2 && lca[u][v] == v1))
ans = min(ans, f[a][b] + 1ll * d[1] * dep[b] + f[u][v] + 1ll * d[a] * dep[v]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int MAXN = 5010;
const ll INF = 1e14;
int n;
int d[MAXN];
int idx;
int dfn[MAXN], dep[MAXN];
int L[MAXN], R[MAXN], ls[MAXN], rs[MAXN];
ll f[MAXN][MAXN], g[MAXN], h[MAXN];
vector<int> e[MAXN];
int lca[MAXN][MAXN];
#define forlca1(u, v, d) \
for (int _i = L[ls[d]], u; u = dfn[_i], _i <= R[ls[d]]; _i ++) \
for (int _j = L[rs[d]], v; v = dfn[_j], _j <= R[rs[d]]; _j ++)
#define forlca2(u, v, d) \
for (int _i = L[rs[d]], u; u = dfn[_i], _i <= R[rs[d]]; _i ++) \
for (int _j = L[ls[d]], v; v = dfn[_j], _j <= R[ls[d]]; _j ++)
#define forlca3(u, v, d) \
for (int _i = L[d], u = d, v; v = dfn[_i], _i <= R[d]; _i ++)
#define forlca4(u, v, d) \
for (int _i = L[d], v = d, u; u = dfn[_i], _i <= R[d]; _i ++)
#define forlca(u, v, d, expr) \
forlca1(u, v, d) \
expr \
forlca2(u, v, d) \
expr \
forlca3(u, v, d) \
expr \
forlca4(u, v, d) \
expr
void dfs(int r) {
dfn[++ idx] = r;
L[r] = idx;
for (int v : e[r]) {
dep[v] = dep[r] + 1;
dfs(v);
}
R[r] = idx;
int siz = e[r].size();
if (siz == 0) {
f[r][r] = d[r];
ls[r] = rs[r] = 0;
}
if (siz == 1) {
int v1 = e[r][0];
ls[r] = v1; rs[r] = 0;
}
if (siz == 2) {
int v1 = e[r][0], v2 = e[r][1];
ls[r] = v1, rs[r] = v2;
}
if (r == 1) return;
int l = ls[r], rr = rs[r];
for (int i = L[l]; i <= R[l]; i ++)
for (int j = L[rr]; j <= R[rr]; j ++)
lca[dfn[i]][dfn[j]] = lca[dfn[j]][dfn[i]] = r;
for (int i = L[r]; i <= R[r]; i ++)
lca[dfn[i]][r] = lca[r][dfn[i]] = r;
if (siz == 1) {
int u = r, D = e[u][0];
forlca(v, w, D, f[u][v] = min(f[u][v], d[u] + f[w][v]);)
int v = r;
forlca(u, w, D, f[u][v] = min(f[u][v], f[u][w] + d[u] + 1ll * d[v] * (dep[w] - dep[v]));)
}
if (siz == 2) {
int v1 = e[r][0], v2 = e[r][1];
int u = r;
for (int t = 2; t; t --) {
for (int b = 1; b <= n; b ++)
g[b] = INF;
forlca(b, a, v2, g[b] = min(g[b], f[a][b]);)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
h[w] = INF;
forlca(w, b, r, h[w] = min(h[w], 1ll * d[w] * (dep[b] - dep[u]) + g[b]);)
forlca(v, w, v1, (lca[u][v] == r ? f[u][v] = min(f[u][v], d[u] + f[w][v] + h[w]) : 114514);)
swap(v1, v2);
}
int v = r;
for (int t = 2; t; t --) {
for (int b = 1; b <= n; b ++)
g[b] = INF;
forlca(b, a, v2, g[a] = min(g[a], f[a][b] + 1ll * d[v] * (dep[b] - dep[v]));)
for (int w = 1; w <= n; w ++)
h[w] = INF;
forlca(w, a, r, h[w] = min(h[w], g[a] + 1ll * d[a] * (dep[w] - dep[v]));)
forlca(u, w, v1, (lca[u][v] == r? f[u][v] = min(f[u][v], h[w] + f[u][w] + d[u]) : 1919810);)
swap(v1, v2);
}
for (int t = 2; t; t --) {
for (int u = 1; u <= n; u ++)
g[u] = INF;
forlca(u, w, v1, g[u] = min(g[u], f[u][w] + 1ll * d[r] * (dep[w] - dep[r]) + d[u]);)
for (int v = 1; v <= n; v ++)
h[v] = INF;
forlca(v, a, v2, h[v] = min(h[v], f[a][v]);)
forlca(u, v, r, f[u][v] = min(f[u][v], h[v] + g[u]);)
swap(v1, v2);
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> d[i];
for (int i = 2, c; i <= n; i ++) {
cin >> c;
e[c].emplace_back(i);
}
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
L[0] = 0, R[0] = -1;
dfs(1);
ll ans = INF;
int sz = e[1].size();
if (sz == 1) {
int v = ls[1];
forlca(a, b, v, ans = min(ans, f[a][b] + 1ll * d[1] * dep[b]);)
}
if (sz == 2) {
int v1 = ls[1], v2 = rs[1];
for (int t = 2; t; t --) {
for (int a = 1; a <= n; a ++)
g[a] = INF;
forlca(a, b, v1, g[a] = min(g[a], f[a][b] + 1ll * d[1] * dep[b]);)
for (int v = 1; v <= n; v ++)
h[v] = INF;
forlca(v, a, 1, h[v] = min(h[v], g[a] + 1ll * d[a] * dep[v]);)
forlca(u, v, v2, ans = min(ans, f[u][v] + h[v]);)
swap(v1, v2);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
