[HAOI2016]字符合并

题意

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有一个长度为 $n(\leq 500)$ 的 01 串，你可以每次将相邻的 $k(\leq 8)$ 个字符合并，得到一个新的字符并获得一定分数。

得到的新字符和分数由这 $k$ 个字符确定。你需要求出你能获得的最大分数。

区间dp + 状态压缩

状态

这个数据范围一般都是区间dp，但是如果只设 $f[l][r]$ 表示区间最大分数，这里区间难以合并，因为分开后的区间还能组合。

由于要求最大分数，并且分数都是正数，那么一个区间 $[l, r]$ 最后一定会剩下 <k 个数，如果记录这个状态就好合并了。

于是设 $f[l][r][S]$ 表示区间 $[l, r]$ 最后变成 $S$ 的最大分数。

初始状态

$f[l][l][s[l]] = 0$ 。

其它非法状态设为 负无穷。

转移

考虑区间合并 设 $len = (r - l) \mod (k - 1)$ 表示$[l, r - 1 - x(k - 1)](r - 1 - x(k - 1) >= l, x\in Z)$ 最后剩下的长度， 将最后长度为 $len$ 的状态 和 为$1$的状态合并。
$len = 0$ 时，其实是 $k - 1$。
1.区间合并。

$$f[l][r][S << 1 | 1] = \max_{p = r - 1 - x(k - 1)}\{f[l][p][S] + f[p][r - 1][1]\}$$

$$f[l][r][S << 1 | 0] = \max_{p = r - 1 - x(k - 1)}\{f[l][p][S] + f[p][r - 1][0]\}$$

2. 当 $len = k - 1$, 其实区间最终长度是 $1$，那么还可以合并成新状态。
   直接枚举所有情况。

$$f[l][r][0] = \max_{g[S] = 0}\{f[l][r][S] + val[S]\}$$

$$f[l][r][1] = \max_{g[S] = 1}\{f[l][r][S] + val[S]\}$$

分析

区间dp是 $O(n^3)$, 枚举子集是 $O(2^k)$。
时间复杂度是 $O(n^32^k)$。

代码:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using ll = long long;
const int MAXN = 310;
const int INF = 0x7fffffff;
const int mod = 1000000007;
const double eps = 1e-9; 

template <typename T>
void Read(T &x) {
	x = 0; T f = 1; char a = getchar();
	for(; a < '0' || '9' < a; a = getchar()) if (a == '-') f = -f;
	for(; '0' <= a && a <= '9'; a = getchar()) x = (x * 10) + (a ^ 48);
	x *= f;
}

inline void add(int &a, const int &b) { 
	a = a + b;
	if (a >= mod) a -= mod;
	if (a < 0) a += mod;  
} 
inline int mul(const int &a, const int &b) {
	return 1ll * a * b % mod; 
}
int qpow(int a, int b) {
	int sum(1);
	while(b) {
		if (b & 1) sum = mul(sum, a);
		a = mul(a, a);
		b >>= 1;
	}
	return sum; 
}

int n, k; 
int a[MAXN], g[MAXN], val[MAXN]; 

ll f[MAXN][MAXN][257]; 
int main() {
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> a[i];
	for (int i = 0; i < (1 << k); i ++)
		cin >> g[i] >> val[i]; 
	memset(f, -0x3f, sizeof(f)); 
	for (int l = n; l >= 1; l --) {
		f[l][l][a[l]] = 0;
		for (int r = l + 1; r <= n; r ++) {
			int len = (r - l) % (k - 1);
			if (!len) len = k - 1;  
			
			for (int m = r; m > l; m -= k - 1) 
				for (int i = 0; i < (1 << len); i ++) {
					f[l][r][i << 1] = max(f[l][r][i << 1], f[l][m - 1][i] + f[m][r][0]);
					f[l][r][i << 1 | 1] = max(f[l][r][i << 1 | 1], f[l][m - 1][i] + f[m][r][1]);
				}
					
			if (len == k - 1) {
				ll tmp[2];
				tmp[0] = tmp[1] = -INF;
				for (int i = 0; i < (1 << k); i ++)	
					tmp[g[i]] = max(tmp[g[i]], f[l][r][i] + val[i]);
				f[l][r][0] = tmp[0], f[l][r][1] = tmp[1]; 
			}
		}
	}
	ll ans = -INF;
	for (int i = 0; i < (1 << k); i ++)
		ans = max(ans, f[1][n][i]);
	cout << ans; 
	return 0;
}