XOR to All

题意

ARC135C

有 \(n(\leq 3\times 10 ^ 5)\) 个数的数列 \(A\)， 每次可以选择其中一个数 \(x\)，对全部数异或 \(x\), 得到新数列 \(A'\), 使 \(A = A'\)。可以进行无限次这个操作。

要使 \(\sum_{i = 1}^n A_i\) 最大。

转化

其实不难猜到全部选出来的数 \(x\) 的异或和是刚开始 \(A\) 中的某个数。

• 假设 \(B\) 是最后的序列。

  1. 不进行操作，那么 \(A = B\)。
  2. 发现总有一个性质:
     \[A_i \oplus A_j = B_i \oplus B_j \]
     因为：
     \[A_i \oplus (x_1 \oplus x_2 \dots) \oplus A_j \oplus (x_1 \oplus x_2 \dots) = B_i \oplus B_j = A_i \oplus A_j \]
     以及每一次完成后，\(B\) 中总有一个数为 \(0\)
     \[\exist i \in [1, n], B_i = 0 \]
     那么就有个推论，假设 \(B_k = 0\)，总有:
     \[B_i = A_i \oplus A_k \]
     对于任意 \(i\) 其 \(B_i\) 都可以为 \(0\), 只要一开始选那个位置上的数就行了。

问题就可以转化为:

\(x\in A\) 求 :

\[\sum_{i = 1}^n A_i \oplus x \]

只要计算出某一位上有多少个 \(0\) 或 \(1\) 就能计算了。

不过我写的麻烦一点。

总结

官方题解写的挺好的：特征化最后的数列。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;
const int MAXN = 300010;
const int INF = 0x7fffffff;
const int mod = 1000000007;

template <typename T>
void Read(T &x) {
	x = 0; T f = 1; char a = getchar();
	for(; a < '0' || '9' < a; a = getchar()) if (a == '-') f = -f;
	for(; '0' <= a && a <= '9'; a = getchar()) x = (x * 10) + (a ^ 48);
	x *= f;
}

int n;  
int a[MAXN], cnt[MAXN], ch[MAXN][2];

int main() {
	ll ma = 0, sum = 0; 
 	cin >> n;
 	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
 		cin >> a[i];
 		sum += a[i];
 		ma = max(ma, 1ll * a[i]); 
		for (int j = 0; j < 30; j ++)
			cnt[j] += (a[i] & (1 << j)) > 0; 	
	} 
	
	ll ans = 0, len = log2(ma); 
	for (int j = 0; j <= len; j ++) {
		int x = cnt[j], y = n - cnt[j], z = min(x, y);
		ans += (1ll << j) * z; 
		x -= z, y -= z;
		ch[j][1] = y, ch[j][0] = x;
	}
	ma = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		ll sum = 0;
		for (int j = 0; j <= len; j ++)
			sum += (1ll << j) * ch[j][(a[i] & (1 << j)) > 0];
		ma = max(ma, sum);
	}
	cout << max(ans + ma, sum); 
	return 0;
}