Leetcode第234周赛 好因子的最大数目
题目描述
Leetcode 第234周赛的T4
解题思路
这题难就难在题目的理解上，比如我，开始就压根没看明白（蒟蒻哭泣...
我们来看一下这道题到底想让我们干啥
题目翻译
给你一个正整数 primeFactors 。你需要构造一个正整数 n ，它满足以下条件：
n 质因数（质因数需要考虑重复的情况）的数目 不超过 primeFactors 个。
n 好因子的数目最大化。如果 n 的一个因子可以被 n 的每一个质因数整除，我们称这个因子是 好因子 。比方说，如果 n = 12 ，那么它的质因数为 [2,2,3] ，那么 6 和 12 是好因子，但 3 和 4 不是。
请你返回 n 的好因子的数目。由于答案可能会很大，请返回答案对 10^9 + 7 取余 的结果。请注意，一个质数的定义是大于 1 ，且不能被分解为两个小于该数的自然数相乘。一个数 n 的质因子是将 n 分解为若干个质因子，且它们的乘积为 n 。
它的意思，其实就是：
-
有n个质数，分别为：a1, a2, a3, …… an（这里的n只是方便表示，与n质因数的n无关）
-
每个质数对应一个次幂，分别为：b1, b2, b3, …… bn
因此有：
-
b1 + b2 + …… + bn = primeFactors
-
a1^b1 * a2^b2 * …… * an^bn = 我们构造的n质因数
举个例子
怎么理解这个好因子个数呢，比如我们看看例子1：
输入：primeFactors = 5
输出：6
解释：200 是一个可行的 n 。
它有 5 个质因子：[2,2,2,5,5] ，且有 6 个好因子：[10,20,40,50,100,200] 。
不存在别的 n 有至多 5 个质因子，且同时有更多的好因子。
200包括的质因数有 3 个 2， 2 个 5（primeFactors 为5），那么好因子个数就相当于：
在 3个2 里取出3种情况：【1个2， 2个2， 3个2】
在 2个5 里取出2种情况：【1个5，2个5】
好因子个数为 3 * 2 = 6
[2,5] = 10
[2,2,5] = 20
[2,2,2,5] = 40
[2,5,5] = 50
[2,2,5,5] = 100
[2,2,2,5,5] = 200
思路整理
盘点一下思路
已知：
- b1 + b2 + …… + bn = primeFactors
- a1^b1 * a2^b2 * …… * an^bn = 我们构造的n质因数
而我们要求的好因子个数其实就是
- b1 * b2 * …… * bn 的最大值
也就是说，其实跟我们构不构造那个n质因数没什么关系的！
由于可分配的幂次和是固定的，所以我们为了让幂次的总乘积最高，我们应该用尽可能小的质数做an底数，比如：2，3
我们接着来看个例子：
比如我们输入primeFactors = 6，我们很多种分配方式：
【primeFactors 对3取模为0】
-
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 --> 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1（有1就不考虑了，浪费！）
-
1 + 2 + 3 = 6 --> 1 * 2 * 3 = 6（有1就不考虑了，浪费！）
-
2 + 2 + 2 = 6 --> 2 * 2 * 2 = 8
-
2 + 4 =8 --> 2 * 4 = 8
-
3 + 3 = 6 --> 3 * 3 = 9
发现了吗，3最香，所以，我们应该尽可能的用3来做底数，思路是不是有了？
不信？那我们就拿例子的5来说：
【primeFactors 对3取模为2】
- 2 + 2 + 1 = 5 --> 2 * 2 = 4（同
4+1） - 2 + 3 = 5 --> 2 * 3 = 6
- 5 = 5 --> 5
总之，优先用3，其次用2
我们可以拿3来作为分界线，对primeFactors 取3模，剩下的用2
但是，我们让primeFactors = 4，情况似乎有变：
【primeFactors 对3取模为1】
- 1 + 3 = 4 --> 1 * 3 = 3
- 2 + 2 = 4 --> 2 * 2 = 4
为什么这样又不行了，不是优先取3吗？那是因为把4对3取模为1，而1这个东西是浪费的！！！对乘积大小没有贡献！！！所以，我们取次之的2。
通过上面三个例子，我们做个总结：（记primeFactors 为n）
- n对3取模为0：ans = pow(3,n/3)
- n对3取模为1：ans = pow(3,n/3 - 1) * 2 * 2
- n对3取模为2：ans = pow(3,n/3) * 2
坑点
细心的你或许发现了
- 坑点一：由于答案可能会很大，所以我们要将所有的计算结果对 10^9 + 7 取余（中间结果要加long long）
- 坑点二：当n=1时，是取模为1的情况，但是它取次幂时候，会变成负次幂，需要我们特殊讨论
- 坑点三：涉及到大数的次幂计算，所以我们要用快速幂
coding
class Solution {
public:
// 取模（1e9相当于1*10^9，aeb相当于a*10^b）
int MOD = 1e9 + 7;
// 快速幂
int POW(int a, int b) {
int res = 1;
while(b>0) {
if(b & 1) {
res = ((long long)res * a) % MOD;
}
a = ((long long)a * a) % MOD;
b = b >> 1;
}
return res;
}
int maxNiceDivisors(int n) {
if(n % 3 == 0) {
return POW(3,n/3);
}
else if(n % 3 == 1){
if(n==1) return 1;
return ((long long)POW(3,n/3-1) << 2) % MOD;
}
else if(n % 3 == 2){
return ((long long)POW(3,n/3) << 1) % MOD;
}
return -1;
}
};
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都是换汤不换药的！
感谢
非常感谢大佬们的贡献！！！
最后，希望本文可以帮助到你！😄
