局部异常因子（Local Outlier Factor, LOF）算法详解及实验

　　局部异常因子（Local Outlier Factor, LOF）通过计算样本点的局部相对密度来衡量这个样本点的异常情况，可以算是一类无监督学习算法。下面首先对算法的进行介绍，然后进行实验。

LOF算法

　　下面介绍LOF算法的每个概念，以样本点集合中的样本点$P$为例。下面的概念名称中都加了一个k-，实际上部分名称原文没有加，但是感觉这样更严谨一些。

　　k-邻近距离（k-distance）：样本点$P$与其最近的第$k$个样本点之间的距离，表示为$d_k(P)$。其中距离可以用各种方式度量，通常使用欧氏距离。

　　k-距离邻域：以$P$为圆心，$d_k(P)$为半径的邻域，表示为$N_k(P)$。

　　k-可达距离：$P$到某个样本点$O$的k-可达距离，取$d_k(O)$或$P$与$O$之间距离的较大值，表示为

$reach\_dist_k(P,O)=\max\{d_k(O),d(P,O)\}$

　　也就是说，如果$P$在$N_k(O)$内部，$reach\_dist_k(P,O)$取$O$的k-邻近距离$d_k(O)$，在$N_k(O)$外部则取$P$与$O$之间距离$d(P,O)$。需要注意k-可达距离不是对称的。

　　k-局部可达密度（local reachability density, lrd）：$P$的k-局部可达密度表示为

$\displaystyle lrd_k(P)=\left(\frac{\sum\limits_{O\in N_k(P)}reach\_dist_k(P,O)}{|N_k(P)|}\right)^{-1}$

　　括号内，分子计算了$P$到其k-距离邻域内所有样本点$O$的k-可达距离之和，然后除以$P$的k-距离邻域内部的样本点个数进行平均。再加一个倒数，表示为密度，即$P$到每个点的平均距离越小，密度越大。可以推理出，如果$P$在所有$O$的k-邻域内部，其局部可达密度即为

$\displaystyle lrd_k(P)=\left(\frac{\sum\limits_{O\in N_k(P)}d_k(O)}{|N_k(P)|}\right)^{-1}$

　　可以看出，如果$P$是一个离群点，那么它不太可能存在于$N_k(P)$中各点的k-距离邻域内，从而导致其局部可达密度偏小；如果$P$不是离群点，其局部可达密度最大取为上式。

　　实际上我有点奇怪为什么要用一个最大值来将距离作一个限制，也就是使用k-可达距离，而不是直接使用距离，即定义局部密度为下式

$\displaystyle ld_k(P)=\left(\frac{\sum\limits_{O\in N_k(P)}d(O,P)}{|N_k(P)|}\right)^{-1}$

　　k-局部异常因子（Local Outlier Factor, LOF）：$P$的k-局部异常因子表示为

$\displaystyle LOF_k(P)=\frac{\frac{1}{|N_k(P)|}\sum\limits_{O\in N_k(P)}lrd_k(O)}{lrd_k(P)}$

　　从直觉上理解：当$LOF_k(P)\le1$时，表明$P$处密度比其周围点的平均密度大或相当，则$P$是内点；当$LOF_k(P)>1$时，表明$P$处密度比其周围点小，可以判别为离群（异常）点。

实验

LOF算法实现

　　实验设置样本维度为2以便可视化。由于样本点只包含连续值，实验默认设置$|N_k(P)|=k$。设置$k=5$，并将阈值设为2，即将LOF大于2的样本点视作异常。函数定义、抽样、计算以及可视化代码如下。

#%% 定义函数
import torch 
import matplotlib.pyplot as plt

#计算所有样本点[N, M]之间的距离，得到[N, N]
def get_dists(points:torch.Tensor): 
  x = torch.sum(points**2, 1).reshape(-1, 1)
  y = torch.sum(points**2, 1).reshape(1, -1)
  dists = x + y - 2 * torch.mm(points, points.permute(1,0))
  #数值计算问题，防止对角线小于0
  dists = dists - torch.diag_embed(torch.diag(dists)) 
  return torch.sqrt(dists)

#计算所有样本的LOF
def get_LOFs(dists:torch.Tensor, k):
  #距离排序，获取所有样本点的k-临近距离
  sorted_dists, sorted_inds = torch.sort(dists, 1, descending=False)
  k_dists = sorted_dists[:, k]
  neighbor_inds = sorted_inds[:, 1:k+1].reshape(-1)
  neighbor_k_dists = k_dists[neighbor_inds].reshape(-1, k)
  neighbor_k_reach_dists = torch.max(neighbor_k_dists, sorted_dists[:, 1:k+1])
  lrds = (neighbor_k_reach_dists.sum(1)/k)**-1
  neighbor_lrds = lrds[neighbor_inds].reshape(-1, k)
  LOFs = neighbor_lrds.sum(1)/k/lrds
  return LOFs

#%% 随机生成聚集点和异常点
from torch.distributions import MultivariateNormal
torch.manual_seed(0)

crowd_mu_covs = [
  [[0.0, 0.0], [[1.0, 0.0], [0.0, 2.0]], 10],
  [[-10.0, -1.0], [[2.0, 0.8], [0.8, 2.0]], 10],
  [[-10.0, -20.0], [[5.0, -2], [-2, 3.0]], 50],
  [[5.0, -10.0], [[5.0, -2], [-2, 3.0]], 50],
  [[-3.0, -10.0], [[5.0, -2], [-2, 3.0]], 50],
  [[-13.0, -10.0], [[0.3, -0.1], [-0.1, 0.5]], 10],
  [[-4.0, -10.0], [[0.3, -0.1], [-0.1, 0.1]], 100],
]#正态分布点的均值和方差
outliers = [[5, 5.], [3, 4], [5, -3], [4, -30], [-2, -35], [-10, -35]] #异常点

points = []
for i in crowd_mu_covs:
  mu = torch.tensor(i[0])
  cov = torch.tensor(i[1])
  ps = MultivariateNormal(mu, cov).sample([i[2]]).to('cuda')
  points.append(ps)
for o in outliers:
  points.append(torch.tensor([o]).to('cuda'))
points = torch.cat(points)

#%% 等高线图
k, threshold = 5, 2
x = torch.arange(-16, 11, 0.5)
y = torch.arange(-36, 6, 0.5)
X, Y = torch.meshgrid(x, y)
Z = torch.zeros_like(X).to('cuda')
M = torch.stack([X,Y]).permute(1,2,0).to('cuda')
for i in range(len(x)):
  for j in range(len(y)):
    ps = torch.cat([points, M[i,j:j+1]])
    dists = get_dists(ps)
    LOFs = get_LOFs(dists, k)
    Z[i,j] = LOFs[-1]
plt.contourf(X.cpu().numpy(),Y.cpu().numpy(),Z.cpu().numpy())

# 点
dists = get_dists(points)
LOFs = get_LOFs(dists, k)
for i, p in enumerate(points.cpu().numpy()):
  shape, color = '.', 'black'
  if len(points) - i <= len(outliers):
    shape = '^'
    plt.annotate("%.2f"%LOFs[i].cpu().numpy(), (p[0], p[1]))
  if LOFs[i] > threshold:
    color = 'red'
    plt.annotate("%.2f"%LOFs[i].cpu().numpy(), (p[0], p[1]), color='blue')
  plt.plot(p[0], p[1], shape, color=color)
plt.show()

　　实验可视化结果如下图所示，其中红色点表示被标为异常的点，三角点表示实验设置的真实异常点。

距离代替局部可达距离

　　根据前面的疑问，用距离代替局部可达距离进行相应实验。仅在get_LOFs函数处做了相关改动，并将阈值threshold改为2.5。get_LOFs函数修改如下。

def get_LOFs(dists:torch.Tensor, k):
  #距离排序，获取所有样本点的k-临近距离
  sorted_dists, sorted_inds = torch.sort(dists, 1, descending=False)
  densities = (sorted_dists[:, 1:k+1].sum(1)/k)**-1
  neighbor_inds = sorted_inds[:, 1:k+1].reshape(-1)
  neighbor_densities = densities[neighbor_inds].reshape(-1, k)
  LOFs = neighbor_densities.sum(1)/k/densities
  return LOFs

　　可视化结果如下图所示

　　效果看起来和原始LOF差不多。至于用局部可达距离的理论解释，本文不再作深究，欢迎前来讨论。