实对称矩阵的特征值一定为实数证明

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  虽然不是什么有应用价值的定理,但是每次看到实对称矩阵时总会有疑惑,现在记录下来。

1  证明#

  设有实对称矩阵A,它的特征值与对应的特征向量分别为λ,x,另外记A¯,λ¯,x¯分别为它们对应的共轭复数(矩阵和向量是对每个元素共轭)。

  首先有:

(1)x¯TAx=x¯TA¯x=(A¯Tx¯)Tx=(A¯x¯)Tx=Ax¯Tx=λx¯Tx=λ¯x¯Tx

  又有:

(2)x¯TAx=x¯Tλx=λx¯Tx

  因为(1),(2)式相等,所以有:

(λ¯λ)x¯Tx=0

  因为特征向量x0,所以x¯Tx>0,因此有λ¯=λ。特征值为实数得证。

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