拉格朗日对偶性和KKT条件

　　在约束最优化问题中，常用拉格朗日对偶性将原始问题转换为对偶问题求解。

广义拉格朗日函数

　　称最优化问题

$\begin{equation} \begin{array}{lcl} \min\limits_{x\in R^n} f(x)\\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;\;&c_i(x) \le 0,\;\;i=1,2,...,k \\ &h_j(x)=0,\;\;j=1,2,...,l \end{aligned} \end{array} \end {equation}$

　　为原始最优化问题。使用以上优化问题构造广义拉格朗日函数：

$L(x,\alpha,\beta) = f(x)+\sum\limits_{i=1}^k\alpha_ic_i(x)+\sum\limits_{j=1}^l\beta_jh_j(x)$

　　其中$\alpha_i\ge 0,\beta_j\in R$是拉格朗日乘子。可以发现，对于违反原始问题约束的$x$，即存在某个$c_i(x)>0$，或某个$h_j(x)\ne 0$，有：

$\max\limits_{\alpha\ge 0,\beta}L(x,\alpha,\beta) = +\infty$

　　因此有：

$\begin{equation} \max\limits_{\alpha\ge 0, \beta}L(x,\alpha,\beta) = \left\{ \begin{aligned} &f(x),\;\;x满足原始条件约束\\ &+\infty,\;\;else \end{aligned} \right. \end {equation}$

　　因此原始问题的最优值可以表示为：

$p^* = \min\limits_{x}\max\limits_{\alpha\ge 0 , \beta}L(x,\alpha,\beta)$

　　从而将约束条件与待优化问题结合到了一起，称为广义拉格朗日函数的极小极大问题。

对偶问题以及KKT条件

对偶问题

　　将极小极大交换一下，得到

$d^* = \max\limits_{\alpha\ge 0 , \beta}\min\limits_{x}L(x,\alpha,\beta)$

　　即为原始问题的对偶问题的最优值。对偶问题转换为带条件的形式就是：

$\begin{aligned} &\max\limits_{\alpha,\beta}\min\limits_{x} L(x,\alpha,\beta)\\ &\;\text{s.t.}\;\;\alpha_i\ge 0, \;\; i=1,2,...,k \\ \end{aligned}$

　　如果原始问题与对偶问题都有最优值，$p^*$和$d^*$，则：

$d^*= \max\limits_{\alpha\ge 0 , \beta}\min\limits_{x}L(x,\alpha,\beta)\le  \min\limits_{x}\max\limits_{\alpha\ge 0 , \beta}L(x,\alpha,\beta)= p^*$

　　以下说明原因。

最大最小和最小最大的比较

　　假设

$\min\limits_x\max\limits_yf(x,y)$

$\max\limits_y\min\limits_xf(x,y)$

　　分别在$(x_0,y_M)$处取得最小最大值和在$(x_m,y_0)$处取得最大最小值。则有下列不等式成立：

$\min\limits_x\max\limits_yf(x,y)=f(x_0,y_M)\ge f(x_0,y_0)\ge f(x_m,y_0)=\max\limits_y\min\limits_xf(x,y)$

　　第一个大于等于号是因为，对于固定的$x=x_0$， $f(x_0,y_M)$是所有$f(x_0,y)$中最大的。

　　第二个大于等于号是因为，对于固定的$y=y_0$， $f(x_m,y_0)$是所有$f(x,y_0)$中最小的。

KKT条件

　　某些情况下，对偶问题与原始问题有相等的最优值，即对于同样的$x^*,\alpha^*,\beta^*$，有$d^* = p^*$，这时解对偶问题可以替代原始问题，条件如下：

　　1、$f(x)$和$c_i(x)$是凸函数；

　　2、$h_j(x)$是仿射函数，即一次函数；

　　3、不等式约束$c_i(x)$是严格可行的，即存在$x$，对所有$i$有$c_i(x)<0$。如果不存在这样的$x$的话，实际上就是等式约束了。这是因为，每个$x$都会使某个不等式约束取等号，也就可以仅使用等式约束来表示这些$x$了。

　　此时有：

$p^*=d^*=L(x^*,\alpha^*,\beta^*)$

　　且算出$x^*,\alpha^*,\beta^*$的充要条件是（KKT条件）：

$\left\{ \begin{aligned} &\nabla_xL(x^*,\alpha^*,\beta^*) = 0 \\ &\alpha_i^*c_i(x^*) = 0, \;\; i=1,2,...,k \\ &c_i(x^*) \le 0, \;\; i=1,2,...,k \\ &\alpha_i^*\ge 0, \;\; i=1,2,...,k \\ &h_j(x^*) = 0, \;\; i=1,2,...,l \\ \end{aligned} \right.$

直观理解

 　　上图显示了优化的一个情况。等高线表示的是待优化函数$f(x)$（$x$二维），越向中心，值越小，是个标准的凸函数。红圈表示不等式约束（内部），是个凸函数。蓝线表示等式约束（线上），是仿射函数。则$x$可取的值在红圈内部的蓝线和红蓝线的两个交点上。可观察有如下几个符合KKT条件的事实：

　　1、三个白色箭头分别表示三个函数的加权梯度方向，此时有三个梯度的加权矢量和为0，与KKT条件中的1式吻合。

　　2、因为最优点在红圈上，因此不等式约束取等为0，有2式。

　　3、3式和5式是原本的约束条件。

　　4、观察不等式约束的加权梯度朝向为向外，也就是$\alpha$，符合2式。如果$\alpha<0$的话，三个梯度的加权矢量和就不可能为0了，1式也不可能满足。