特征值之积等于矩阵行列式、特征值之和等于矩阵的迹

特征值之积等于矩阵行列式

　　对于$n$阶方阵$A$，我们可以解$\lambda$的$n$次方程

$|A-\lambda E|=0$

　　来求$A$的特征值。又因为在复数域内，$A$一定存在$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2...\lambda_n$使上式成立。因此作为$\lambda$的$n$次多项式，$|A-\lambda E|$可以写成：

$\begin{gather}|A-\lambda E|=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\label{}\end{gather}$

　　当$\lambda=0$时，上式变为：

$|A| = \lambda_1...\lambda_n$

　　得出结论。 

特征值之和等于矩阵的迹

　　为了找到特征值之和，首先将$(1)$式展开：

$ \begin{gather} \begin{aligned} &|A-\lambda E|\\ =&(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\\ =&\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i +\dots +\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i(-\lambda)^{n-1} +(-\lambda)^n \end{aligned} \label{}\end{gather} $

　　我们可以发现，上式中只有倒数第二项，$\lambda$的$n-1$次项包含所有特征值的和。

　　对于行列式$|A-\lambda E|$来说，我们怎样才能获得这一项呢？从行列式定义的角度看，计算行列式是对所有非同行同列元素之积求和，我们不可能取$n-1$个对角线元素和一个非对角线元素来进行乘积操作，非对角线元素最少都要取二个，所以只有$|A-\lambda E|$全部对角线元素的乘积，才能获得$\lambda$至少$n-1$次的项。将$|A-\lambda E|$展开：

$ \begin{gather}  \begin{aligned} &|A-\lambda E|\\ =&\dots-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^nA_{ij}A_{ji}\prod\limits_{k=1,k\ne i,j}^n(A_{kk}-\lambda)+\prod\limits_{i=1}^n(A_{ii}-\lambda)\\ =&\dots-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^nA_{ij}A_{ji}\prod\limits_{k=1,k\ne i,j}^n(A_{kk}-\lambda)+ \prod\limits_{i=1}^nA_{ii} +\dots +\sum\limits_{i=1}^nA_{ii}(-\lambda)^{n-1} +(-\lambda)^n \end{aligned} \label{}\end{gather} $

　　将$(3)$式与$(2)$式的$\lambda^{n-1}$项的参数取等：

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i(-\lambda)^{n-1} = \sum\limits_{i=1}^nA_{ii}(-\lambda)^{n-1}$

　　得出结论。