统计学习方法——朴素贝叶斯法、先验概率、后验概率

　　朴素贝叶斯法，就是使用贝叶斯公式的学习方法，朴素就是它假设输入变量（向量）的各个分量之间是相互独立的。所以对于分量之间不独立的分布，如果使用它学习和预测效果就不会很好。

简化策略

　　它是目标是通过训练数据集学习联合概率分布$P(X, Y)$用来预测。书上说，具体是先学习到先验概率分布以及条件概率分布，分别如下：（但我认为，直接学习$P(X, Y)$就行了，它要多此一举算出这两个再乘起来变成$P(X, Y)$，但其实计算量差不多，可能这样更好理解吧）

$P(Y = c_k), k = 1, 2, 3, ..., K$

$P(X = x|Y = c_k) = P(X^{(1)} = x^{(1)}, ..., X^{(n)} = x^{(n)}|Y = c_k), k = 1, 2, 3, ..., K$

　　其中输入空间$\mathcal{X} \subseteq R^n$为$n$维向量的集合，输出空间为标记集合$\mathcal{Y} = \{c_1, c_2, ..., c_K\}$。

　　上面提到了先验概率分布，这里记一下先验概率分布与后验概率分布。先验概率分布与后验概率分布是相对而言的量，通常是要放在一起讨论的。如：$P(Y)$是直接测量的，或是我们经验中所认为的$Y$的概率分布，而当我们测量$X$后，条件概率分布$P(Y|X)$就是发生$X$后$Y$的后验概率分布。

　　书中说，因为条件概率分布$P(X = x|Y = c_k)$有指数级数量的参数，它的估计实际不可行（实际上样本的数量也不够支撑那么多参数之间的潜在交叉关系）。事实上，假设$x^{(j)}$可取值有$S_j$个，j = 1, 2,… ,n , Y 可取值有K 个，那么参数个数就是$K\prod\limits_{j=1}^{n}S_j$。所以对输入的各个分量的分布进行了假设，假设各个分量之间相互独立（所以它们的联合分布就是直接乘起来），这是一个较强的假设，朴素贝叶斯因此得名。如下：

$P(X= x|Y = c_k) =  P(X^{(1)} = x^{(1)}, ..., X^{(n)} = x^{(n)}|Y = c_k)$

$ = \prod\limits_{j=1}^{n}P(X^{(j)} = x^{(j)}|Y = c_k)$

学习方式

　　那么如何学习呢？对于有限离散输入输出来说的表达，可以直接计算样本集的概率分布当做总体分布。

　　而对于连续的输入输出来说，通常要先假设$P(X, Y)$服从某个多维分布。然后，基于上面的独立性假设，$X$的各个分量是相互独立的，而各个分量和$Y$并不独立，所以可以分别拟合$P(X^{(j)}|Y), j = 1, 2, ..., n$（可以用极大似然估计拟合$P(X^{(j)}, Y)$，再计算$P(X^{(j)}|Y)$），然后把它们全都乘起来得$P(X|Y) =  \prod\limits_{j=1}^{n}P(X^{(j)}|Y)$（这里和上面不一样，因为是连续的，所以不能等于某个特定的值$x_j$），再拟合边缘分布$P(Y)$，然后与$P(X|Y)$相乘获得联合分布$P(X, Y)$。 当然也可以直接拟合$P(X, Y)$，因为$X$的分量之间相互独立，所以除了外协方差矩阵中除了对角线以及包含$Y$的协方差外，其它协方差$Cov(X^{(j)}, X^{(i)})$都为0，所以要优化的参数也少了很多，形如：

$\begin{bmatrix} Cov(X^{(0)}, X^{(0)}) & 0 & . & . & . & Cov(X^{(0)}, Y) \\ 0 &Cov(X^{(1)}, X^{(1)}) & . & .& . & Cov(X^{(1)}, Y) \\ . & & . & & & . \\ .& & & . && . \\ .& & && . & .  \\Cov(Y, X^{(0)}) & Cov(Y, X^{(1)}) & . & . & . &Cov(Y, Y)&\end{bmatrix}$

　　分类的时候，通过贝叶斯公式计算后验概率分布，取后验概率最大的$Y$作为预测结果：

$y = f(x) =  \mathop{\arg\max}\limits_{c_k} P(Y = c_k|X = x) $

$=  \mathop{\arg\max}\limits_{c_k} \frac{P(Y = c_k, X = x)}{\sum\limits_{k}P(X = x|Y = c_k)P(Y = c_k)}$

　　因为分母对每个$Y$都是一样的，所以可以简化为：

$=  \mathop{\arg\max}\limits_{c_k} P(Y = c_k, X = x)$

　　因此在这里最大后验概率的预测等价于最大联合概率。

后验最大化的含义

　　这里的后验概率最大化等价于机器学习中常用的期望风险最小化。如果用期望风险最小化来推出预测函数，就要定义损失函数，书上选择0-1损失函数（也可以是别的损失函数形式）。具体证明直接贴书上的图：